Интегральная квадратичная ошибка физический смысл

Портал ТОЭ

6.2 Классический метод расчёта переходных процессов

Анализ переходного процесса в линейной цепи с сосредоточенными параметрами R , L , C (рис. 6.2 ) сводится к решению линейных неоднородных уравнений, выражающих законы Кирхгофа.

где i ( t ) – переходный ток.

Дифференцированием приводим это уравнение к неоднородному дифференциальному уравнению 2-го порядка:

Порядок дифференциального уравнения определяется числом накопителей энергии в цепи.

Решение дифференциального уравнения:

где i _пр ( t ) – частное решение неоднородного уравнения, принуждённая составляющая, ток в установившемся режиме, когда переходный процесс закончен (при t = ∞ );
i _св ( t ) – общее решение однородного уравнения, свободная составляющая, ток во время переходного процесса, возникающий вследствие изменения электрических и магнитных полей.

Таким образом здесь используется метод наложения. Физически существует только i ( t ) , а разложение его на i _пр и i _св является математическим приёмом, облегчающим расчёт переходного процесса.

Расчёт принуждённой составляющей сводится к расчёту по известным методам установившегося значения искомой величины в схеме после коммутации.

Для расчёта свободной составляющей следует найти корни характеристического уравнения p _k и n постоянных интегрирования A _k .

Если характеристическое уравнение

имеет n различных корней p _k ( k = 1 , 2 , … ,n ) , то

Корню p _k кратности m _k ≥ 1 соответствует слагаемое свободной составляющей вида

Чтобы определить постоянные интегрирования A _k , необходимо знать значения искомой величины и всех её производных до ( n − 1) порядка включительно в момент времени t = 0+ . Для их определения используются законы коммутации.

Составление характеристического уравнения

Составляем уравнение электрического состояния цепи для свободного режима (т.е. при устранении вынужденной (принуждающей) силы). Это соответствует схеме с исключёнными источниками – источники ЭДС закорачиваются, ветви с источниками тока размыкаются.

Например для рис. 6.3 :

Корни характеристического уравнения – собственные частоты цепи, т.к. они определяют характер свободных процессов.

Степень характеристического уравнения может быть определена по электрической схеме без составления уравнения: она равна числу основных независимых начальных условий в послекоммутационной схеме после максимального её упрощения и не зависит от числа ЭДС в схеме.

Упрощение заключается в том, что последовательно и параллельно соединённые реактивные элементы должны быть заменены эквивалентными.

Рассмотрим схему на рис. 6.4 . Три реактивных элемента в упрощённой схеме определяют три независимых начальных условия, т.е. порядок характеристического уравнения равен трём.

Свободный процесс происходит в цепи, освобождённой от источников энергии, поэтому свободные токи не могут протекать сколь угодно долго в цепи, где есть активные элементы. Свободные токи должны затухать, в связи с этим действительные части корней p _k характеристического уравнения должны быть отрицательными.

Так, при наличии одного корня p = − a

5.7 Свойства корней характеристического уравнения

Свободный процесс происходит в цепи, освобожденной от источников электрической энергии. Он описывается слагаемыми вида Аe pt .

В цепи, освобожденной от источников, свободные токи не могут протекать сколь угодно долго, так как энергия в цепи расходуется на тепловые потери. Таким образом, свободные токи должны затухать. Следовательно, действительная часть корней характеристического уравнения должна быть отрицательной.

Уравнение первой степени всегда имеет один отрицательный вещественный корень. Уравнение второй степени может иметь: два действительных неравных отрицательных корня; два действительных отрицательных равных корня; два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью.

Уравнение третьей степени может иметь: три действительных отрицательных неравных корня; три действительных отрицательных корня, из которых два равны друг другу; три действительных отрицательных равных корня; один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью.

Рассмотрим характер свободного процесса для простейших переходных процессов в цепях первого и второго порядков.

При одном корне.

Свободный ток i_св=Аe pt , где p=-α зависит только от параметров цепи; A – от параметров цепи, ЭДС и момента включения (коммутации).

0 график свободного тока имеет вид, показанный на рисунке 5.4.>

За время t=τ=1/α функция Аe -αt уменьшается в е=2,71 раза;

называют постоянной времени переходного процесса. Она зависит от структуры цепи и ее параметров. При двух действительных неравных корнях.

Рисунок 5.5 – Графики свободной составляющей переходного тока

На рисунке 5.5 показаны графики свободной составляющей переходного тока при различных соотношениях постоянных интегрирования А₁ и А₂.

При двух комплексно-сопряженных корнях.

Если

В этом случае свободный ток описывается выражением

Формула описывает затухающее синусоидальное колебание с угловой частотой ω₀ и начальной фазой γ(рис.5.6). ω₀ и δ зависят только от параметров цепи после коммутации, а А и γ – от параметров, ЭДС и начальных условий.

Рисунок 5.6 – Характер изменения свободной составляющей переходного тока при комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения

корней характеристического уравнения

Одним из косвенных показателей качества систем управления является степень удаленности корней характеристического уравнения замкнутой САУ от мнимой оси комплексной плоскости. Пусть ближайшие к мнимой оси комплексно-сопряженные корни устойчивой системы имеют значение

. (7.1)

Расстояние (рис. 8.2) ближайших к мнимой оси комплексно-сопряженных корней называется степенью устойчивости системы.

Угол φ, образуемый лучами, проведенными из начала координат через эти корни, характеризует колебательность системы. Степенью колебательности системы (коэффициентом затухания колебаний) называют количественную характеристику, определяемую выражением

. (7.2)

Чтобы система обладала заданной колебательностью, все корни характеристического уравнения должны вписываться в угол 2φ (см. рис. 7.2). Для большинства систем управления допустимое перерегулирование не должно превышать (10…20)%, что соответствует m=0,2…0,5.

Рис. 7.2. Область расположения корней

с заданными показателями и

При корневых методах оценки качества системы, т. е. по расположению корней характеристического полинома, исходят из следующих соображений.

Решение однородного уравнения, характеризующего свободное движение системы, представляет собой сумму затухающих экспонент вида (6.2). Полагая, что качество САУ в основном определяется ближайшим к мнимой оси вещественным корнем или ближайшей к мнимой оси парой комплексно-сопряженных корней (доминирующих корней), можно записать

.

Полагая, что зона δ установления переходного процесса составляет (2…5)% от установившегося значения , можно найти требуемое соотношение степени устойчивости системы и времени регулирования t_р:

. (7.3)

Следовательно, задаваясь временем регулирования, можно рассчитать минимальное (по модулю) значение вещественных частей корней характеристического уравнения.

Аналогично можно связать степень колебательности m системы со степенью затухания колебаний. Пусть по условиям технологии требуется, чтобы каждая последующая амплитуда колебаний затухала в k раз по сравнению с предыдущей. Тогда

. (7.4)

Пусть k=10, тогда в соответствие с (7.4) получим m=0,336 и

.

Таким образом, задаваясь временем регулирования и соотношением амплитуд колебаний k, можно определить допустимую область расположения корней на комплексной плоскости или решить обратную задачу расчета параметров и k переходного процесса по расположению доминирующих корней характеристического уравнения. Следует отметить, что данный подход дает приемлемую точность оценки качества регулирования, если действительные части остальных корней характеристического уравнения больше действительной части доминирующих корней, по крайней мере, в 5 раз [6].

Для построения в плоскости параметров областей, обеспечивающих требуемые показатели качества регулирования целесообразно использовать метод D-разбиения [6]. В качестве примера используем уравнение Вышнеградского, описывающего в параметрической форме характеристический полином 3-го порядка,

. (7.5)

где A и B – обобщенные параметры характеристического уравнения.

Подставим выражение для комплексного корня в (7.5). Тогда получим

.

Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получим

, (7.6)

Полагая в (7.6), получим границу области устойчивости системы в параметрической форме

(7.7)

— уравнение гиперболы Вышнеградского (кривая 1, рис. 7.3).

Рис. 7.3. Границы областей устойчивости,

колебательности и апериодичности на

Полагая в (7.6), получим границу области апериодичности системы в параметрической форме (кривые 2 и 3 на рис. 7.3)

.

Поскольку на кривой 1 ω ≠ 0, а на кривых 2 и 3 ω = 0, то области I и III являются областями комплексных, а область II – вещественных корней (см. рис. 7.3). Следовательно, если параметры A, B принадлежат области II, то переходные процессы имеют апериодический характер, причем, чем эти параметры больше, тем процессы более затянуты. Если параметры принадлежат области I, то переходные процессы имеют колебательный характер, причем, чем больше A и меньше B, тем выше колебательность. Область III является областью монотонности решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего (7.5), а, следовательно, переходные процессы, имея колебательный характер, тем не менее, затухают монотонно (без перерегулирования).

Диаграмма Вышнеградского [19] помимо приведенных кривых содержит кривые равных вещественных частей комплексных корней (равной степени устойчивости), причем для двух случаев расположения корней, когда ближайшими к мнимой оси являются комплексные корни и, когда ближайшим к мнимой оси расположен вещественный корень (на рис. 7.3 эти кривые не показаны). В частности, на границе областей I и III (кривая 4) все три корня равно удалены от мнимой оси.

Требования повысить быстродействие и одновременно снизить перерегулирование в системе являются противоречивыми друг другу, что заставляет искать компромисс. В общем случае, с точки зрения переходного процесса наилучшей считается САУ, у которой все корни характеристического уравнения n-го порядка равны друг другу (на практике редко реализуется), т. е.

, i=1, 2, 3…n.

В этом случае перерегулирование не превышает 10%, а время нарастания регулирования является минимальным.

Если все корни являются вещественными, то система характеризуется отсутствием перерегулирования, т. е. апериодическими переходными процессами. Время регулирования будет тем меньше, чем меньше среднегеометрический корень или, иначе, чем ближе к мнимой оси расположен центр корней.

При анализе качества системы корневыми методами необходимо учитывать влияние нулей передаточной функции на переходный процесс.

Прежде всего, нужно проверить, насколько близки нули к полюсам.

Если нуль и полюс совпадают, то их нужно сократить, и они не будут влиять на качество системы. Порядок системы при этом, естественно, будет понижен.

Если полюсы и нули передаточной функции не совпадают, то полюсы определяют отдельные составляющие переходного процесса (апериодические и гармонические), а нули определяют удельный вес каждой из этих составляющих. Чем ближе нуль передаточной функции расположен к какому-либо полюсу, тем меньше его вклад в переходную характеристику составляющей, соответствующей данному полюсу.

7.2.2. Интегральные оценки качества

В основе интегральных оценок качества лежит предположение, что качество регулирования тем выше, чем меньше площадь между кривой переходного процесса и заданным значением регулируемой переменной. Интегральные оценки качества являются строгой математической формулировкой понятия качества системы, и их минимизация позволяет определить оптимальные параметры системы управления, т. е. решить задачу параметрического синтеза системы. Для этой цели применяются процедуры безусловной и условной оптимизации [2, 6, 10-12, 19-21].

Наибольшее применение для косвенной оценки качества САУ находят интегральные оценки вида [6, 11, 12, 19]:

; (7.8)

; (7.9)

; (7.10)

; (7.11)

, (7.12)

где — текущая ошибка регулирования, являющаяся функцией времени,

С – некоторый весовой коэффициент, характеризующий допустимую скорость изменения ошибки регулирования, а, следовательно, выходной координаты в переходном процессе.

В критерии (7.8) подынтегральное выражение линейно относительно ошибки регулирования и такая оценка применяется только для апериодического переходного процесса, когда ошибка имеет положительный знак.

Интегральная квадратичная оценка (ИКО) вида (7.9) применяется при колебательном характере переходных процессов, характеризующихся сменой знака ошибки регулирования. Интегральная квадратичная оценка (7.10) применяется в тех случаях, когда требуется учитывать ограничения энергии управления.

Широко используемым видом оценки качества является интеграл от модуля ошибки (ИМО) – (7.11), позволяющем учесть смену знака подынтегральной функции.

Чтобы уменьшить вклад начальной ошибки в интеграл (7.11) и учесть связанную с этим ошибку была предложена [6] оценка в виде интеграла от взвешенного модуля ошибки (ИВМО) в виде (7.12).

Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы 2-го порядка имеет вид:

, (7.13)

где — коэффициент затухания.

Нормированное значение собственной частоты принято . На рис. 7.4 приведены кривые, отражающие изменение двух из приведенных выше интегральных оценок системы (ИКО и ИВМО) в функции коэффициента затухания [6].

Рис. 7.4. Интегральные оценки

качества системы второго порядка

Как видим, оценка ИВМО по сравнению с ИКО имеет ярко выраженный минимум (хорошую избирательность), соответствующий = 0,707, что для данной системы 2-го порядка обеспечивает наиболее быстрое протекание переходного процесса с перерегулированием около 4,3%.

Рассмотрим еще один пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет достаточно общий вид нерекурсивного фильтра n-го порядка:

. (7.14)

Безусловная оптимизация систем первого-четвертого порядка (n=1…4), описываемых передаточными функциями (7.14), по критерию ИВМО дает оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей этих передаточных функций, приведенные в табл. 7.1. Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний .

На рис. 7.5 приведены кривые переходных процессов, соответствующих оптимальным по критерию ИВМО фильтрам первого-четвертого порядка.

Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний . На рис. 7.5 приведены кривые переходных процессов, соответствующие оптимизации фильтров первого-четвертого порядка по критерию ИВМО.

Рис. 7.5. Переходные характеристики, соответствующие

оптимизации систем по ИВМО

Графики построены в зависимости от нормированного времени .

Кроме приведенных оценок для оптимизации систем управления применяются и другие интегральные критерии качества, в частности, лежащие в основе синтеза фильтров Баттерворта, широко применяемых при настройке контуров электромеханических систем управления.

8. Метод пространства состояний

Широкое распространение компьютеров и мощных систем программирования побуждает к исследованию САУ во временной области, а, следовательно, к непосредственному использованию описания динамических систем управления в форме обыкновенных дифференциальных уравнений без перехода к операторной форме. Кроме того, как уже отмечалось, векторно-матричные формы описания и исследования применимы не только к одномерным, линейным, стационарным САУ, но и к широкому классу многомерных, нелинейных и нестационарных САУ.

Чтобы получить пригодную для компьютерного синтеза и анализа модель САУ, необходимо представить ее в переменных состояния системы, используя далеко не единственный набор переменных. Следует отметить, что описание систем во временной области в векторно-матричной форме лежит в основе современной теории управления и оптимизации. В настоящей главе рассмотрены вопросы применения метода пространства состояния к непрерывным системам управления.

8.1. Векторно-матричное описание САУ

Состояние системы – это совокупность значений переменных системы (координат состояния), существенных с точки зрения решаемой задачи. В общем случае, в это число включают не только выходные и внутренние переменные САУ, но и задающие воздействия, и доминирующие возмущающие воздействия внешней среды. Чем полнее достоверной информации о состоянии системы в текущий момент времени, тем проще определить будущие значения всех ее переменных. Инженерно-технический персонал, разрабатывающий и эксплуатирующий технические системы управления, оперирует, как правило, с такими физическими переменными, которые могут быть измерены с помощью соответствующих датчиков. К таким физическим переменным САУ относят ускорение, скорость, перемещение, давление, расход, температуру, уровень и т. п. Координатами датчиков технологических координат САУ являются другие переменные — напряжение, ток, частота следования импульсов, двоичный код и т. п., что дает исследователю возможность выбора для синтеза и анализа необходимого набора координат состояния САУ.

Векторно-матричная модель многомерной, нелинейной, нестационарной САУ записывается в виде [6, 10, 11, 19]

,

, (8.1)

где X(t), U(t),F(t), Y(t) – соответственно векторы состояния, управления, возмущения и выходных (управляемых) координат системы,

– вектор первых производных координат состояния,

– нелинейные, нестационарные функции координат состояния, управления и возмущения системы.

В уравнении (8.1) вектор управления U(t) является, в общем случае, некоторой нелинейной нестационарной функцией задающих координат, координат состояния и возмущения САУ и призван обеспечить оптимальное управление системой. Описание многомерных, нелинейных, нестационарных САУ в форме (8.1) не позволяет, как правило, получить инженерное решение задачи структурно-параметрического синтеза оптимального управления U(t) или такое решение приводит к неоправданным затратам на реализацию (в техническом или экономическом аспектах). В большинстве случаев такие модели сводят к одномерным или многомерным линейным (линеаризованным) квазистационарным моделям, для которых имеются развитые методы и инженерные методики синтеза оптимального управления.

Линейную (линеаризованную) модель многомерной стационарной (квазистационарной) САУ представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:

,

, (8.2)

.

Эту же систему дифференциальных уравнений можно представить в векторно-матричной форме [6, 11, 19]:

, (8.3)

где — векторы (векторы-столбцы) соответственно состояния и управления САУ,

, ;

— символ транспонирования (иногда для обозначения транспонирования применяют буквенный символ “т”);

— стационарные матрицы соответственно состояния и управления,

, .

В общем случае, на объект управления помимо управляющих воздействий действуют возмущающие воздействия. В этом случае векторно-матричную модель системы представляют в виде

, (8.4)

где — вектор-столбец возмущающих воздействий САУ, C – стационарная матрица возмущений,

,

.

Выходные (управляемые) переменные не всегда непосредственно принадлежат вектору состояния. В линейных САУ они линейно связаны с переменными состояния, управляющими и возмущающими переменными. В этом случае к уравнениям (8.3), (8.4) присоединяют алгебраические линейные уравнения

(8.5)

или , (8.6)

где — вектор выходных переменных САУ, ;

K, L, M – стационарные матрицы соответственно размерностей (r n), (r m), (r d).

Следует отметить, что приведенные уравнения (8.1)…(8.6) дают описание лишь объекта управления или разомкнутой системы, если вектор управления U(t) не является функцией координат состояния САУ. В замкнутых линейных САУ управление обычно формируют как линейную форму координат состояния и, в общем случае, возмущения САУ.

В качестве примера приведем векторно-матричное описание ранее рассматриваемого электродвигателя постоянного тока как объекта регулирования по цепи якоря. Пусть выходной (регулируемой) координатой является скорость вращения двигателя. Полагая, что напряжение возбуждения , а магнитный поток , математическую модель электродвигателя можно представить в виде:

,

. (8.7)

Воспользуемся векторно-матричной моделью линейных САУ в виде (8.4), (8.5). Зададимся векторами состояния, управления и возмущения в виде:

; ;

(8.8)

По уравнениям (8.7) найдем матрицы состояния, управления и возмущения:

; ; . (8.9)

Поскольку выходная переменная всего одна и ей является координата состояния , уравнение выхода преобразуется к скалярной форме

. (8.10)

По описанию системы в форме векторно-матричных уравнений (ВМУ) можно непосредственно получить эквивалентную передаточную функцию (ПФ) и, наоборот, зная ВМУ системы, можно получить ее ПФ. Для этого в системе MATLAB имеется две функции: функция tf и функция ss.

Пусть ВМУ системы имеет вид (8.3), (8.5). Применительно к системе MATLAB ВМУ записывают в виде

Для получения ВМУ в системе MATLAB необходимо определить функцию ss(A,B,C,D). Для преобразования ВМУ к ПФ системы необходимо записать:

sys­_ss=ss(A,B,C,D); % Формирование ВМУ системы;

sys_tf=tf(sys­_ss), % Преобразование ВМУ к ПФ системы.

Для обратного преобразования ПФ к ВМУ необходимо записать:

sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;

sys_ss=ss(sys_tf); Преобразование ПФ к ВМУ системы.

Рассмотрим пример. Пусть ПФ системы имеет вид

.

Тогда запишем скрипт преобразования ПФ к ВМУ и обратного преобразования ВМУ к ПФ:

sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;

sys_ss=ss(sys_tf); %Преобразование ПФ к ВМУ системы;

Интегральная квадратичная ошибка

Cтраница 1

Интегральная квадратичная ошибка определяется как интеграл квадратов мгновенных ( текущих) значений рассогласования. При возведении в квадрат текущих значении рассогласования отрицательные величины не компенсируют положительные, поэтому с возрастанием рассогласования интегральная квадратичная ошибка растет очень быстро.
 [1]

Эти коэффициенты соответствуют минимуму интегральной квадратичной ошибки между f ( t) и апроксимирующей функцией, что вытекает из (9.81), если Г оо. Полная функция f ( t) подбирается так, чтобы при этом значении Т получить наилучшую апроксимацию.
 [2]

В этом разделе в качестве критерия оценки точности апроксимации применяется интегральная квадратичная ошибка. Выбор этого критерия диктуется главным образом удобством его применения; вместе с тем во многих конкретных случаях он служит весьма хорошей оценкой точности апроксимации. В нем одинаково учитываются как положительные, так и отрицательные ошибки. Критерий интегральной квадратичной ошибки достаточно хорошо оценивает большие и длительные ошибки, а малые и кратковременные ошибки слабо сказываются на его величине.
 [3]

Экспоненциальные функции не являются ортогональными в любом интервале, так что критерий минимума интегральной квадратичной ошибки к такому ряду функций приложить нелегко.
 [4]

С усилением интегрального воздействия ( уменьшение времени интегрирования) процесс из апериодического переходит в колебательный со все более уменьшающейся степенью затухания; при этом динамическая ошибка регулирования уменьшается, а время регулирования и интегральная квадратичная ошибка регулирования возрастают.
 [5]

Для выбора наиболее рациональных с точки зрения технологии переходных процессов по каналам регулирования обычно выполняются расчеты для четырех процессов регулирования: без перерегулирования, с 20 % — ным перерегулированием, с минимальным временем регулирования и с минимальной интегральной квадратичной ошибкой.
 [7]

Интегральные ошибки этих трех переходных процессов равны, так как настройки диапазона пропорциональности и времени изо-дрома регулятора во всех случаях одинаковы. Интегральная квадратичная ошибка последнего переходного процесса меньше, чем у первых двух, так как он имеет меньшую динамическую ошибку.
 [9]

В частности, это имеет место для систем с симметричными и кососимметрич-ньгми матрицами А в силу ортогональности их канонических базисов. Эквивалентные сепаратные системы равноправны с точки зрения квадратичной оценки для системы в целом: значения их интегральных квадратичных ошибок входят в сумму ( ИЗ) с одинаковым весом.
 [10]

Интегральная квадратичная ошибка определяется как интеграл квадратов мгновенных ( текущих) значений рассогласования. При возведении в квадрат текущих значении рассогласования отрицательные величины не компенсируют положительные, поэтому с возрастанием рассогласования интегральная квадратичная ошибка растет очень быстро.
 [11]

Для большинства методов решения задачи синтеза оптимальных виброзащитных систем характерны следующие принципы: используется линейная динамическая модель с одной степенью свободы; для системы с двумя степенями свободы рассматриваются лишь частные случаи синтеза; учитывается не более одного ограничения; для одной и той же модели изменение спектральной плотности воздействия приводит к необходимости повторения процесса решения задачи. Например, для синтеза оптимальной системы с активным динамическим гасителем колебаний ( судовых механизмов и машин) был выбран метод минимально-квадратичной оптимизации, позволяющий синтезировать системы с наименьшим значением интегральной квадратичной ошибки при учете ограничений, накладываемых объектом.
 [12]

На практике наиболее широкое распространение при оценке качества работы ристем регулирования получили интегральная и интегральная квадратичная ошибки. Принципиальное отличие между ними состоит в том, что вторая учитывает абсолютное значение ошибки. Например, две кривые переходного процесса с различными амплитудами колебаний параметра могут иметь одинаковые интегральные ошибки, но разные интегральные квадратичные ошибки.
 [13]

В этом разделе в качестве критерия оценки точности апроксимации применяется интегральная квадратичная ошибка. Выбор этого критерия диктуется главным образом удобством его применения; вместе с тем во многих конкретных случаях он служит весьма хорошей оценкой точности апроксимации. В нем одинаково учитываются как положительные, так и отрицательные ошибки. Критерий интегральной квадратичной ошибки достаточно хорошо оценивает большие и длительные ошибки, а малые и кратковременные ошибки слабо сказываются на его величине.
 [14]

Страницы:  

   1

   2

Интегральные
оценки качества являются интегралами
по времени от некоторых функций координат
системы (выходной координаты, сигнала
ошибки) и оценивают одним числом как
величину отклонения, так и время
регулирования. В качестве исследуемого
процесса обычно выбирается разность
между установившимся процессом в системе
и самой координатой. Рассмотрим замкнутую
систему управления стандартной структуры,
на вход которой поступает единичный
ступенчатый сигнал υ(t)
= 1[t].
Тогда реакция системы будет представлять
собой переходную функцию
,
которая в соответствии с(4.10)
определяется выражением
,
где– установившаяся составляющая;– переходная составляющая, характеризующая
переходной процесс.

Введем
отклонение
процессаот его установившегося значения.
Очевидно, что.

Простейшими
интегральными оценками качества
являются:

, (7.8)

, (7.9)

. (7.10)

Оценка

носит
название
линейной
интегральной
оценки,

– абсолютной
интегральной
и

– квадратичной
интегральной
оценки.

Значение
интегралов будет конечной величиной
только в том случае, если
,
т.е. только для асимптотически устойчивых
систем.

Поясним
физический смысл оценок (7.8)–(7.10), для
чего обратимся
к рис. 7.3.
Для
,
соответствующих
кривым 1, 2, 3 (см. рис. 4.2), построены графики
отклонения
(на рис. 7.3 соответственно кривые 1, 2, 3).

Величина
для кривой 1 есть величина площади,
ограниченной этой кривой и координатными
осями.

заведомо
известно, что переходная составляющая
имеет монотонный характер.

Для
колебательных процессов обычно
применяются оценки
,,
которые имеют аналогичный смысл: чем
меньше величина I,
тем меньше время регулирования и меньше
отклонения координаты системы от
установившегося процесса.

Любые
интегральные оценки носят качественный
и сравнительный характер, т.е. по величине
I
нельзя определить, например, время
регулирования или перерегулирование
в системе. Но если для двух вариантов
проектируемой системы окажется, что
,
то считается, что качественные показатели
первой системы лучше, чем второй.

Наиболее
просто вычисляются интегральные оценки
и.
Пусть передаточная функция замкнутой
системы имеет вид

. (7.11)

Найдем
изображение отклонения

с учетом того, что
,и:

.
(7.12)

Так
как
,
то с учетом
(7.11) имеем

квадратичная
интегральная оценка
может быть определена на основе

формулы
Парсеваля (или Релея).

В частности, для
астатических систем

.
(7.14)

Изображение
отклонения
всегда можно представить как отношение
двух полиномов:

.
(7.15)

При
этом оценка
может быть аналитически вычислена приm
< n
через коэффициенты
,(7.15). Выражение для вычисленияимеет достаточно сложный вид и здесь
не приводится. Для наиболее распространенного
случаяприведем несколько конечных выражений
для вычисления:

(7.16)

;
;

.

Наряду
с оценками
,употребляются и более сложные интегральные
оценки, учитывавшие не только само
отклонение,
но и его
производные.

При
использовании интегральных оценок
можно выделить два направления: анализ
системы – получение оценки для заданной
системы и синтез системы – минимизация
оценки по каким-либо параметрам.

Пример
7.2. Рассмотрим
методику применения интегральных оценок
к системе, исследуемой в примере 7.1.
Передаточная функция замкнутой системы
имеет вид
,
и в соответствии с (7.11) имеем,,,.
Линейная интегральная оценка (7.13)
в
этом случае.
Оценка справедлива для монотонных
процессов, когда корни характеристического
уравнения замкнутой системы различны,
т.е. выполняется условие,.
Итак, увеличение величиныK
уменьшает
и время регулирования. Минимальное
значениепри.

Вычислим
для этой же системы величину
,
для чего найдем изображение отклонения.

Коэффициенты
в (7.15) будут
,,,,.

Используя
(7.16), получим
,
откуда следует, что для уменьшениянадо увеличивать величинуK,
либо уменьшать Т,
что повышает быстродействие системы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Подборка по базе: Реферат «Латиноамериканские направления аэробики движения, особ, ЗначениеБроуновского движения.docx, Физика. Механика. Молекулярная физика.docx, Прикладная механика.pdf, Лабораторная работа 1 механика.doc, Прикладная механика.docx, Контрольно-измерительный материал по ОП.03 _Техническая механика, техическая механика.docx, Физика. Механика. Молекулярная физика_МСбп-2205а_Стародубцев.Д.С, Реферат. Техническая механика.docx.docx

Физический смысл средней квадратичной погрешности.
При любых численных значениях стандартного отклонения для доверительного интервала
x
x x
   


(рис.2)
доверительная вероятность всегда равна 0,68. То есть можно утверждать, что с вероятностью 68 % результат единичного измерения окажется в интервале от
x
 
до
x
 
или, что то же самое, с вероятностью 68 % ошибка единичного измерения не
14
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

превышает величины стандартного отклонения
(среднеквадратичной погрешности).
Доверительному интервалу от
x
 2
до

2

x
соответствует доверительная вероятность 95 %, а доверительному интервалу от

3

x
до
x
 3
— доверительная вероятность
99,7 %.
Если ограничится доверительной вероятностью 68 %, то величину стандартного отклонения
 используют для оценки случайной погрешности. При этом результат измерений величины х
должен быть представлен в виде x  .
Эта запись означает, что с вероятностью 68 % результат единичного измерения величины х окажется в интервале значений от (
x
 
) до (


x
).
Учет систематических ошибок
Увеличением числа измерений можно уменьшить только случайные ошибки опыта, но не систематические.
Максимальное значение систематической ошибки обычно указывается на приборе или в его паспорте. У неэлектрических приборов, имеющих шкалу с делениями, принимают в качестве систематической ошибки половину цены деления прибора. Для измерений с помощью обычной металлической линейки систематическая ошибка составляет не менее 0,5 мм. Приборы,
имеющие дополнительную шкалу (нониус) имеют точность измерений соответствующую дополнительной шкале. Например, для измерений штангенциркулем
–
0,1 – 0,05 мм;
микрометром – 0,01 мм.
На шкалах электроизмерительных приборов указывается класс точности. Согласно ГОСТу, электроизмерительные приборы делятся по степени точности на семь классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5;
4. Зная класс точности К, можно вычислить систематическую ошибку прибора ∆х по формуле
100




ïð
x
x
15
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

где К – класс точности прибора в процентах, x пр
– предельное значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.
Так, амперметр класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с ошибкой не более
À
I
I
ïð
2 10 5
,
2 100 5
,
0 5
100









Среднее значение полной погрешности складывается из
случайной и систематической погрешности
2 2





ñèñò
ïîëí
Ответ с учетом систематических и случайных ошибок записывается в виде
ïîëí
x
x



Погрешность косвенного измерения
Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются
косвенными.
Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку косвенных измерений.
Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.
Пусть физическая величина
(x, y, z, …) является функцией ряда независимых аргументов x, y, z, …, каждый из которых может быть определен экспериментально. Путем прямых измерений определяются величины x y z
, , , … и оцениваются их средние абсолютные погрешности
z
y
x



,
,
или средние квадратичные погрешности
,
,
,
z
y
x



Средняя абсолютная погрешность косвенных измерений физической величины
 вычисляется по формуле
16
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

правильно –
 = 0,04,
неправильно –
 = 0,0382.
 Последняя значащая цифра результата должна быть того же порядка величины, что и погрешность: правильно –
 = 9,830,03,
неправильно –
 = 9,8260,03.
 Если результат имеет очень большую или очень малую величину,
необходимо использовать показательную форму записи — одну и ту же для результата и его погрешности, причем запятая десятичной дроби должна следовать за первой значащей цифрой результата: правильно –
 = (5,270,03)10
-5
,
неправильно –
 = 0,00005270,0000003.
 Если результат имеет размерность, ее необходимо указать:
правильно – g = (9,82
0,02) м/c
2
, неправильно – g = (9,82
0,02).
5. Правила построения графиков
1. Графики строятся с использованием компьютера.
2. Перед построением графика необходимо четко определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией.
Значения аргумента откладываются на оси абсцисс (ось х), значения функции — на оси ординат (ось у).
3. Из экспериментальных данных определить пределы изменения аргумента и функции.
4. Указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин.
5. На осях координат указать масштаб (при очень больших или очень малых величинах, показательную часть в записи величины указать рядом с единицами измерений на оси).
6. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их
(крестиком, кружочком, жирной точкой).
7. Провести через экспериментальные точки плавную линию, в соответствии с выбранным законом аппроксимации экспериментальных данных, по методу наименьших квадратов.
19
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

аппроксимирующую функциональную теоретическую зависимость в соответствии с методом наименьших квадратов.
IX.
Анализ полученного результата. Выводы.
РАБОТА 1. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ.
Цель работы — обработать данные прямых и косвенных измерений физических величин.
Теоретические основы лабораторной работы
В методике данной лабораторной работы использованы теоретические основы оценки погрешности прямых и косвенных измерений, представленные в разделе Обработка результатов
измерений в физическом эксперименте. Кроме этого в методике эксперимента используются законы и соотношения теории постоянного тока, что позволяет проводить измерения не только механических, но и электрических физических величин.
. В соответствии с законом Ома для однородного (с точки зрения отсутствия сторонних сил) участка цепи, сила тока I,
текущего по металлическому проводнику определяется по формуле
I =
R
1
U
Коэффициент пропорциональности в законе Ома

=
R
1
называется электрической проводимостью проводника. Физическая величина R – сопротивление проводника.
Сопротивление однородного цилиндрического проводника
R зависит от его формы, размеров, а также свойств материала, из которого он изготовлен
S
R
/



(1)
здесь: U — падение напряжения на проводнике,  — длина проводника; S — площадь его поперечного сечения;

— удельное сопротивление.
21
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

величиной
d
d

измер и с поправкой
d, принятой за точность прибора.
Измеряя диаметр более точным прибором, например микрометром, получим серию результатов: d d d
d
n
1 2
3
,
,…,
,
, где n — число измерений. Как величина случайная диаметр варьирует около некоторого среднего значения, которое определяется как среднее арифметическое:


d
n
d
d
d
d
n



 
1 1
2 3
Величина средней абсолютной погрешности прямых измерений диаметра проволоки





n
i
i
d
d
n
d
1 1
(3)
В случае, если она меньше точности используемого прибора,
то за величину абсолютной ошибки следует принять погрешность прибора.
Измерения величины тока I и напряжения U проводят с помощью электроизмерительных приборов (амперметра и вольтметра). Точность этих приборов характеризуют приведенной погрешностью

пр пр
  х х
/
,
где х
пр
— наибольшее значение электрической величины
(I или U), которое может быть измерено по шкале прибора.
Приведенная погрешность, измеренная в процентах,
определяет класс точности прибора (указан на шкале).
Абсолютная погрешность физической величины, измеренной данным прибором в любом месте шкалы
 x
х
х К



пр пр пр
/
,
100
(4)
где К — класс точности прибора.
Какова же будет средняя абсолютная погрешность
косвенного определения удельного сопротивления


по результатам прямых измерений величин, входящих в формулу (2)?
23
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943