Ошибки первого и второго рода
Выдвинутая гипотеза
может быть правильной или неправильной,
поэтому возникает необходимость её
проверки. Поскольку проверку производят
статистическими методами, её называют
статистической. В итоге статистической
проверки гипотезы в двух случаях может
быть принято неправильное решение, т.
е. могут быть допущены ошибки двух родов.
Ошибка первого
рода состоит в том, что будет отвергнута
правильная гипотеза.
Ошибка второго
рода состоит в том, что будет принята
неправильная гипотеза.
Подчеркнём, что
последствия этих ошибок могут оказаться
весьма различными. Например, если
отвергнуто правильное решение «продолжать
строительство жилого дома», то эта
ошибка первого рода повлечёт материальный
ущерб: если же принято неправильное
решение «продолжать строительство»,
несмотря на опасность обвала стройки,
то эта ошибка второго рода может повлечь
гибель людей. Можно привести примеры,
когда ошибка первого рода влечёт более
тяжёлые последствия, чем ошибка второго
рода.
Замечание 1.
Правильное решение может быть принято
также в двух случаях:
-
гипотеза принимается,
причём и в действительности она
правильная; -
гипотеза отвергается,
причём и в действительности она неверна.
Замечание 2.
Вероятность совершить ошибку первого
рода принято обозначать через
;
её называют уровнем значимости. Наиболее
часто уровень значимости принимают
равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят
уровень значимости, равный 0,05, то это
означает, что в пяти случаях из ста
имеется риск допустить ошибку первого
рода (отвергнуть правильную гипотезу).
Статистический
критерий проверки нулевой гипотезы.
Наблюдаемое значение критерия
Для проверки
нулевой гипотезы используют специально
подобранную случайную величину, точное
или приближённое распределение которой
известно. Обозначим эту величину в целях
общности через
.
Статистическим
критерием
(или просто критерием) называют случайную
величину
,
которая служит для проверки нулевой
гипотезы.
Например, если
проверяют гипотезу о равенстве дисперсий
двух нормальных генеральных совокупностей,
то в качестве критерия
принимают отношение исправленных
выборочных дисперсий:
.
Эта величина
случайная, потому что в различных опытах
дисперсии принимают различные, наперёд
неизвестные значения, и распределена
по закону Фишера – Снедекора.
Для проверки
гипотезы по данным выборок вычисляют
частные значения входящих в критерий
величин и таким образом получают частное
(наблюдаемое) значение критерия.
Наблюдаемым
значением
называют значение критерия, вычисленное
по выборкам. Например, если по двум
выборкам найдены исправленные выборочные
дисперсии
и
,
то наблюдаемое значение критерия
.
Критическая
область. Область принятия гипотезы.
Критические точки
После выбора
определённого критерия множество всех
его возможных значений разбивают на
два непересекающихся подмножества:
одно из них содержит значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а другая – при которых она принимается.
Критической
областью называют совокупность значений
критерия, при которых нулевую гипотезу
отвергают.
Областью принятия
гипотезы (областью допустимых значений)
называют совокупность значений критерия,
при которых гипотезу принимают.
Основной принцип
проверки статистических гипотез можно
сформулировать так: если наблюдаемое
значение критерия принадлежит критической
области – гипотезу отвергают, если
наблюдаемое значение критерия принадлежит
области принятия гипотезы – гипотезу
принимают.
Поскольку критерий
— одномерная случайная величина, все её
возможные значения принадлежат некоторому
интервалу. Поэтому критическая область
и область принятия гипотезы также
являются интервалами и, следовательно,
существуют точки, которые их разделяют.
Критическими
точками (границами)
называют точки, отделяющие критическую
область от области принятия гипотезы.
Различают
одностороннюю (правостороннюю или
левостороннюю) и двустороннюю критические
области.
Правосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
>
,
где
— положительное число.
Левосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
<
,
где
— отрицательное число.
Односторонней
называют правостороннюю или левостороннюю
критическую область.
Двусторонней
называют критическую область, определяемую
неравенствами
где
.
В частности, если
критические точки симметричны относительно
нуля, двусторонняя критическая область
определяется неравенствами ( в
предположении, что
>0):
,
или равносильным неравенством
.
Отыскание
правосторонней критической области
Как найти критическую
область? Обоснованный ответ на этот
вопрос требует привлечения довольно
сложной теории. Ограничимся её элементами.
Для определённости начнём с нахождения
правосторонней критической области,
которая определяется неравенством
>
,
где
>0.
Видим, что для отыскания правосторонней
критической области достаточно найти
критическую точку. Следовательно,
возникает новый вопрос: как её найти?
Для её нахождения
задаются достаточной малой вероятностью
– уровнем значимости
.
Затем ищут критическую точку
,
исходя из требования, чтобы при условии
справедливости нулевой гипотезы
вероятность того, критерий
примет значение, большее
,
была равна принятому уровню значимости:
Р(
>
)=
.
Для каждого критерия
имеются соответствующие таблицы, по
которым и находят критическую точку,
удовлетворяющую этому требованию.
Замечание 1.
Когда
критическая точка уже найдена, вычисляют
по данным выборок наблюдаемое значение
критерия и, если окажется, что
>
,
то нулевую гипотезу отвергают; если же
<
,
то нет оснований, чтобы отвергнуть
нулевую гипотезу.
Пояснение. Почему
правосторонняя критическая область
была определена, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы выполнялось соотношение
Р(
>
)=
?
(*)
Поскольку вероятность
события
>
мала (
— малая вероятность), такое событие при
справедливости нулевой гипотезы, в силу
принципа практической невозможности
маловероятных событий, в единичном
испытании не должно наступить. Если всё
же оно произошло, т.е. наблюдаемое
значение критерия оказалось больше
,
то это можно объяснить тем, что нулевая
гипотеза ложна и, следовательно, должна
быть отвергнута. Таким образом, требование
(*) определяет такие значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а они и составляют правостороннюю
критическую область.
Замечание 2.
Наблюдаемое значение критерия может
оказаться большим
не потому, что нулевая гипотеза ложна,
а по другим причинам (малый объём выборки,
недостатки методики эксперимента и
др.). В этом случае, отвергнув правильную
нулевую гипотезу, совершают ошибку
первого рода. Вероятность этой ошибки
равна уровню значимости
.
Итак, пользуясь требованием (*), мы с
вероятностью
рискуем совершить ошибку первого рода.
Замечание 3. Пусть
нулевая гипотеза принята; ошибочно
думать, что тем самым она доказана.
Действительно, известно, что один пример,
подтверждающий справедливость некоторого
общего утверждения, ещё не доказывает
его. Поэтому более правильно говорить,
«данные наблюдений согласуются с нулевой
гипотезой и, следовательно, не дают
оснований её отвергнуть».
На практике для
большей уверенности принятия гипотезы
её проверяют другими способами или
повторяют эксперимент, увеличив объём
выборки.
Отвергают гипотезу
более категорично, чем принимают.
Действительно, известно, что достаточно
привести один пример, противоречащий
некоторому общему утверждению, чтобы
это утверждение отвергнуть. Если
оказалось, что наблюдаемое значение
критерия принадлежит критической
области, то этот факт и служит примером,
противоречащим нулевой гипотезе, что
позволяет её отклонить.
Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей***
Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей сводится (так же, как и для
правосторонней) к нахождению соответствующих
критических точек. Левосторонняя
критическая область определяется
неравенством
<
(
<0).
Критическую точку находят, исходя из
требования, чтобы при справедливости
нулевой гипотезы вероятность того, что
критерий примет значение, меньшее
,
была равна принятому уровню значимости:
Р(
<
)=
.
Двусторонняя
критическая область определяется
неравенствами
Критические
точки находят, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы сумма вероятностей того, что
критерий примет значение, меньшее
или большее
,
была равна принятому уровню значимости:
.
(*)
Ясно, что критические
точки могут быть выбраны бесчисленным
множеством способов. Если же распределение
критерия симметрично относительно нуля
и имеются основания (например, для
увеличения мощности) выбрать симметричные
относительно нуля точки (-
)и
(
>0),
то
Учитывая (*), получим
.
Это соотношение
и служит для отыскания критических
точек двусторонней критической области.
Критические точки находят по соответствующим
таблицам.
Дополнительные
сведения о выборе критической области.
Мощность критерия
Мы строили
критическую область, исходя из требования,
чтобы вероятность попадания в неё
критерия была равна
при условии, что нулевая гипотеза
справедлива. Оказывается целесообразным
ввести в рассмотрение вероятность
попадания критерия в критическую область
при условии, что нулевая гипотеза неверна
и, следовательно, справедлива конкурирующая.
Мощностью критерия
называют вероятность попадания критерия
в критическую область при условии, что
справедлива конкурирующая гипотеза.
Другими словами, мощность критерия есть
вероятность того, что нулевая гипотеза
будет отвергнута, если верна конкурирующая
гипотеза.
Пусть для проверки
гипотезы принят определённый уровень
значимости и выборка имеет фиксированный
объём. Остаётся произвол в выборе
критической области. Покажем, что её
целесообразно построить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Предварительно убедимся, что если
вероятность ошибки второго рода (принять
неправильную гипотезу) равна
,
то мощность равна 1-
.
Действительно, если
— вероятность ошибки второго рода, т.е.
события «принята нулевая гипотеза,
причём справедливо конкурирующая», то
мощность критерия равна 1 —
.
Пусть мощность 1
—
возрастает; следовательно, уменьшается
вероятность
совершить ошибку второго рода. Таким
образом, чем мощность больше, тем
вероятность ошибки второго рода меньше.
Итак, если уровень
значимости уже выбран, то критическую
область следует строить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Выполнение этого требования должно
обеспечить минимальную ошибку второго
рода, что, конечно, желательно.
Замечание 1.
Поскольку вероятность события «ошибка
второго рода допущена» равна
,
то вероятность противоположного события
«ошибка второго рода не допущена» равна
1 —
,
т.е. мощности критерия. Отсюда следует,
что мощность критерия есть вероятность
того, что не будет допущена ошибка
второго рода.
Замечание 2. Ясно,
что чем меньше вероятности ошибок
первого и второго рода, тем критическая
область «лучше». Однако при заданном
объёме выборки уменьшить одновременно
и
невозможно; если уменьшить
,
то
будет возрастать. Например, если принять
=0,
то будут приниматься все гипотезы, в
том числе и неправильные, т.е. возрастает
вероятность
ошибки второго рода.
Как же выбрать
наиболее целесообразно? Ответ на этот
вопрос зависит от «тяжести последствий»
ошибок для каждой конкретной задачи.
Например, если ошибка первого рода
повлечёт большие потери, а второго рода
– малые, то следует принять возможно
меньшее
.
Если
уже выбрано, то, пользуясь теоремой Ю.
Неймана и Э.Пирсона, можно построить
критическую область, для которой
будет минимальным и, следовательно,
мощность критерия максимальной.
Замечание 3.
Единственный способ одновременного
уменьшения вероятностей ошибок первого
и второго рода состоит в увеличении
объёма выборок.
5.3. Ошибки первого и второго рода
Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза 
будет отвергнута, хотя на самом деле она правильная. Вероятность
допустить такую ошибку называют уровнем значимости и обозначают буквой 
(«альфа»).
Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза 
будет принята, но на самом деле она неправильная. Вероятность
совершить эту ошибку обозначают буквой 
(«бета»). Значение 
называют мощностью критерия – это вероятность отвержения неправильной
гипотезы.
В практических задачах, как правило, задают уровень значимости, наиболее часто выбирают значения 
.
И тут возникает мысль, что чем меньше «альфа», тем вроде бы лучше. Но это только вроде: при уменьшении
вероятности 
—
отвергнуть правильную гипотезу растёт вероятность 
— принять неверную гипотезу (при прочих равных условиях).
Поэтому перед исследователем стоит задача грамотно подобрать соотношение вероятностей 
и 
, при этом учитывается тяжесть последствий, которые
повлекут за собой та и другая ошибки.
Понятие ошибок 1-го и 2-го рода используется не только в статистике, и для лучшего понимания я приведу пару
нестатистических примеров.
Петя зарегистрировался в почтовике. По умолчанию, 
– он считается добропорядочным пользователем. Так считает антиспам
фильтр. И вот Петя отправляет письмо. В большинстве случаев всё произойдёт, как должно произойти – нормальное письмо дойдёт до
адресата (правильное принятие нулевой гипотезы), а спамное – попадёт в спам (правильное отвержение). Однако фильтр может
совершить ошибку двух типов:
1) с вероятностью 
ошибочно отклонить нулевую гипотезу (счесть нормальное письмо
за спам и Петю за спаммера) или
2) с вероятностью 
ошибочно принять нулевую гипотезу (хотя Петя редиска).
Какая ошибка более «тяжелая»? Петино письмо может быть ОЧЕНЬ важным для адресата, и поэтому при настройке фильтра
целесообразно уменьшить уровень значимости 
, «пожертвовав» вероятностью 
(увеличив её). В результате в основной ящик будут попадать все
«подозрительные» письма, в том числе особо талантливых спаммеров. …Такое и почитать даже можно, ведь сделано с любовью 
Существует примеры, где наоборот – более тяжкие последствия влечёт ошибка 2-го рода, и вероятность 
следует увеличить (в пользу уменьшения
вероятности 
). Не хотел я
приводить подобные примеры, и даже отшутился на сайте, но по какой-то мистике через пару месяцев сам столкнулся с непростой
дилеммой. Видимо, таки, надо рассказать:
У человека появилась серьёзная болячка. В медицинской практике её принято лечить (основное «нулевое» решение). Лечение
достаточно эффективно, однако не гарантирует результата и более того опасно (иногда приводит к серьёзному пожизненному
увечью). С другой стороны, если не лечить, то возможны осложнения и долговременные функциональные нарушения.
Вопрос: что делать? И ответ не так-то прост – в разных ситуациях разные люди могут принять разные
решения (упаси вас).
Если болезнь не особо «мешает жить», то более тяжёлые последствия повлечёт ошибка 2-го рода – когда человек соглашается
на лечение, но получает фатальный результат (принимает, как оказалось, неверное «нулевое» решение). Если же…, нет, пожалуй,
достаточно, возвращаемся к теме:
5.4. Процесс проверки статистической гипотезы
5.2. Нулевая и альтернативная гипотезы
| Оглавление |
Проверка статистических гипотез
С теорией статистического оценивания параметров тесно связана проверка статистических гипотез. Она используется в том случае, когда необходим обоснованный вывод о преимуществах того или иного способа вложения инвестиций, об уровне доходности ценных бумаг, об эффективности лекарственных препаратов, о значимости построенной математической модели и т.д.
При изучении многих статистических данных необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен и есть основания предположить, что он имеет определенный вид (например, А), то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. В данной гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.
Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр 
равен определенному значению 
, то выдвигают гипотезу: 
. Здесь речь идет о предполагаемой величине параметра одного известного распределения. Возможны гипотезы о равенстве параметров
двух или нескольких распределений, о независимости выборок и др.
Все выводы, которые делаются в МС, вообще говоря, являются гипотезами, т.е. предположениями о неизвестных параметрах известных распределений, об общем виде неизвестного теоретического распределения или функции распределения изучаемой СВ. Такие гипотезы называют статистическими гипотезами.
Различают простые и сложные, параметрические и непараметрическиестатистические гипотезы.
Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет закон распределения СВ. Сложной называют гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, гипотезы «вероятность появления события A в схеме Бернулли равна 
», «закон распределения СВ – нормальный с параметрами, 
» являются простыми в отличие от сложных гипотез: «вероятность появления события A в схеме Бернулли заключена между и 
», «закон распределения СВ не является нормальным». Гипотеза называется параметрической, если в ней содержится некоторое условие о значении параметра известного распределения. Гипотезу, в которой сформулированы предположения относительно вида распределения, называют непараметрической.
Если исследовать всю генеральную совокупность, то, естественно, можно было бы наиболее точно установить справедливость выдвигаемой гипотезы. Однако такое исследование не всегда возможно, и суждение об истинности статистических гипотез проверяется на основании выборки.
Выдвигаемую (проверяемую) гипотезу называют основной или нулевой гипотезой 
. Если, например, по полигону или гистограмме частот, построенным по некоторой выборке, можно предположить, что СВ распределена по нормальному закону, то может быть выдвинута гипотеза 
. Одновременно с гипотезой выдвигается альтернативная (конкурирующая) гипотеза 
. Если гипотеза будет отвергнута, то имеет место конкурирующая ей гипотеза.
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , являющуюся логическим отрицанием . Нулевая и альтернативнаягипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез. Например, если, то альтернативная гипотеза может иметь вид 
, или 
.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, в связи, с чем возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку осуществляют статистическими методами, ее называют статистической. В результате статистической проверки гипотезы неправильное решение может быть принято в двух случаях: с одной стороны, на основании результатов опыта можно отвергнуть правильную гипотезу; с другой – можно принять неверную гипотезу. Очевидно, последствия этих ошибок могут оказаться различными.
Отметим, что правильное решение может быть принято также в двух случаях:
1) гипотеза принимается, и она в действительности является правильной;
2) гипотеза отвергается, и она в действительности не верна.
По полученным значениям статистики основная гипотеза принимается или отклоняется.
При этом так как выборка носит случайный характер, могут быть допущены два вида ошибок:
– может быть отвергнута правильная гипотеза, в этом случае допускается ошибка первого рода,
– может быть принята неверная гипотеза, тогда допускается ошибка второго рода (см. схему).
Вероятность 
совершить ошибку I рода, т.е. отвергнуть гипотезу , когда она верна, называется уровнем значимости критерия.
Обычно принимают 
. Смысл при 
в 5 случаях из 100 имеется риск допустить ошибку I рода, т.е. отвергнуть правильную гипотезу. Вероятность допустить ошибку II рода, т.е. принять гипотезу , когда она неверна, обозначают 
.
Вероятность 
не допустить ошибку II рода, т.е. отвергнуть гипотезу , когда она ошибочна, называется мощностью критерия.
Используя терминологию статистического контроля качества продукции можно сказать, что вероятность представляет «риск поставщика» (или «риск производителя»), связанный с вероятностью признать негодной по результатам выборочного контроля всю партию годных изделий, удовлетворяющих стандарту, а вероятность – «риск потребителя», связанный с вероятностью принять по анализу выборки негодную партию, не удовлетворяющую стандарту. В некоторых прикладных исследованиях ошибка I рода означает вероятность того, что сигнал, предназначенный наблюдателю, не будет принят, а ошибка II рода – вероятность того, что наблюдатель примет ложный сигнал.
Для проверки справедливости нулевой гипотезы используют специально подобранную СВ 
, точное или приближенное распределение которой известно. Эту СВ , которая служит для проверки нулевой гипотезы, называют статистическим критерием (или просто критерием).
Для проверки статистической гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и получают частное (наблюдаемое) значение критерия 
.
После выбора определенного статистического критерия для решения вопроса о принятии или непринятии гипотезы множество его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых называется областью принятия гипотезы (или областью допустимых значений критерия), а второе – критической областью.
Критической областьюназывается совокупность значений статистического критерия K, при которых нулевую гипотезу отвергают.
Областью принятия гипотезы(областью допустимых значений критерия) называется совокупность значений статистического критерия , при которых нулевую гипотезу принимают.
Основной принцип проверки статистических гипотез.Если наблюдаемое значение статистического критерия принадлежит критической области, то основная гипотеза отвергается в пользу альтернативной; если оно принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.
Поскольку статистический критерий K – одномерная СВ, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Следовательно, и критическая область, и область принятия гипотезы – также интервалы. Тогда должны существовать точки, их разделяющие.
Критическими точками (границами) 
называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Вероятности оценок I и II рода (и ) однозначно определяются выбором критической области. Естественным является желание сделать и сколь угодно малыми. Однако эти требования являются противоречивыми, ибо при фиксированном объеме выборки можно сделать сколь угодно малой лишь одну из величин – или , что сопряжено с неизбежным увеличением другой.
Одновременное уменьшение вероятностей и возможно лишь при увеличении объема выборки. При разработке статистических критериев необходимо уменьшать как ошибку I рода, так и ошибку II рода.
Поскольку одновременное уменьшение ошибок I и II рода невозможно, то при нахождении критических областей для данной статистики уровень значимости задают, стараясь подобрать такой критерий, чтобы вероятность ошибки II рода была наименьшей.
Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области.
Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством 
, где 
.
Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством 
, где 
.
Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами 
, 
, где 
.
Если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами 
, , где или, что равносильно, 
.
Как найти критическую область? Пусть 
– статистический критерий, выбранный для проверки нулевой гипотезы 
, 
– некоторое число, 
. Найдем правостороннюю критическую область, определяемую неравенством , где . Для ее отыскания достаточно найти критическую точку 
. Рассмотрим вероятность 
в предположении, что гипотеза верна. Очевидно, что с ростом вероятность уменьшается. Тогда можно выбрать настолько большим, что вероятность станет ничтожно малой. Другими словами, при заданном уровне значимости можно определить критическое значение из неравенства 
.
Критическую точку ищут из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий K примет значение, большее , была равна принятому уровню значимости : . (1)
Для каждого из известных статистических критериев (нормального, Стьюдента, критерия Пирсона 
, Фишера-Снедекора, Кочрена и др.) имеются соответствующие таблицы, по которым находят , удовлетворяющее этим требованиям. После нахождения по данным выборок вычисляют наблюдаемое значение критерия K.
Если окажется, что 
, (т.е. реализовалось маловероятное событие), то нулевая гипотеза отвергается. Следовательно, принимается конкурирующая гипотеза . Если же 
, то в этом случае нет оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу . Следовательно, гипотеза принимается. Другими словами, выдвинутая статистическая гипотеза согласуется с результатами эксперимента (выборочными данными).
Левосторонняя критическая область определяется неравенством , где . Критическую точку находят из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий K примет значение, меньшее , была равна принятому уровню значимости : 
. (2)
Двусторонняя критическая область определяется неравенствами , , где .
Критические точки 
находят из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы сумма вероятностей того, что критерий ,K примет значение, меньшее 
или большее 
, была равна принятому уровню значимости : 
. (3)
Если распределение критерия симметрично относительно нуля, и для увеличения его мощности выбрать симметричные относительно нуля точки 
и , то 
, и из следует 
. (4)
Это соотношение и служит для отыскания критических точек двусторонней критической области.
Отметим, что принцип проверки статистической гипотезы не дает логического доказательства ее верности или неверности. Принятие гипотезы следует расценивать не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный содержащийся в ней факт, а лишь как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.
Если проверка статистических гипотез основана на предположении об известном законе распределения генеральной совокупности, из которого следует определенное распределение критерия, то критерии проверки таких гипотез называют параметрическими критериями. Если закон распределения генеральной совокупности неизвестен, то соответствующие критерии называются непараметрическими. Понятно, что непараметрические критерии обладают значительно меньшей мощностью, чем параметрические. Отсюда следует, что для сохранения той же мощности при использовании непараметрического критерия по сравнению с параметрическим необходимо иметь значительно больший объем наблюдений.
Наиболее распространенным критерием проверки статистических гипотез о виде распределения генеральной совокупности (т.е. непараметрическим критерием) является критерий Пирсона .