Случайные, систематические и грубые ошибки
Под
случайными
понимают ошибки, значения которых
меняются от одного измерения к другому.
Они являются следствием случайных
ошибок контрольно – измерительных
приборов, случайных ошибок экспериментатора,
неточных соблюдений методики измерения,
непостоянством самой контролируемой
величины. Для количественной оценки
случайных ошибок применяют математический
аппарат теории вероятностей и
математической статистики.
Наиболее
полно случайные ошибки могут быть
оценены функцией их распределения,
получаемой многократными наблюдениями
с последующей статистической обработкой
полученных экспериментальных данных.
Отличие
систематических
ошибок от
случайных состоит в том, что их значение
остается постоянным при проведении
серии однотипных измерений; причины их
возникновения известны, следовательно,
они могут быть исключены из окончательного
результата, если их величина предварительно
определена. К систематическим ошибкам
можно отнести ошибки эталонов, по которым
проградуированы контрольно – измерительные
приборы, систематические ошибки,
связанные с принятой методикой измерения
(например, ошибки, возникшие вследствие
неучета температурных поправок,
применения приближенных формул расчета
и т.д.), “личные ошибки” экспериментатора,
т.е. присущие данному лицу и др. Различают
также постоянные (неизменные во времени)
и прогрессирующие (возрастающие или
убывающие во времени) систематические
ошибки.
Грубые
ошибки (промахи) являются результатом
нарушения условия и процесса измерений.
Их характерным признаком является
резкое отличие от результатов
предшествующих измерений. Повторение
эксперимента (если это возможно) является
наиболее надежным, достоверным и
эффективным способом обнаружения грубых
ошибок.
Современные
математические методы обработки
результатов эксперимента базируется
на вероятностном подходе и предполагают,
что ошибки измерения являются случайными.
При этом предполагается, что к началу
этой обработки все грубые и систематические
ошибки выявлены и устранены.
Рассмотрим
практические методы исключения грубых
ошибок, если их не удалось исключить в
процессе проведения экспериментов.
Методы исключения резко выделяющихся результатов эксперимента
1. Критерий
Романовского.
Имеется
упорядоченный статистический ряд
измеренных значений случайной величины
x:
x1,
x2,
…, xi,
…, xn.
Здесь:
х1
или хn
– значения, которые вызывают сомнения
(резко отличаются от остальных значений);
n
– объем выборки.
Сущность критерия:
а)
вычисляется
,
где
— резко выделяющее значение, в качестве
которого взято значение
или
;
и
— выборочные значения математического
ожидания и среднего квадратического
отклонения, вычисленные без значения
(при объеме выборки n-1);
б)
определяется
из табл. 1.
Таблица1
Табличные значения критерия Романовского
|
|
tтабл. |
|||||||||||||
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
30 |
40 |
60 |
|
|
|
0.01 |
78 |
11.5 |
6.5 |
5 |
4.4 |
4 |
3.7 |
3.5 |
3.4 |
2.9 |
2.8 |
2.7 |
2.7 |
2.6 |
|
0.02 |
39 |
8 |
5.1 |
4.1 |
3.6 |
3.4 |
3.2 |
3.1 |
3 |
2.6 |
2.5 |
2.5 |
2.4 |
2.3 |
|
0.05 |
15.6 |
5 |
3.6 |
3 |
2.8 |
2.6 |
2.5 |
2.4 |
2.4 |
2.2 |
2.1 |
2.0 |
2.0 |
2.0 |
в)
сравнивается tрасч.
и tтабл.
Если
tрасч.
> tтабл.,
то с вероятностью P=1-
значение x1
или xn
статистического ряда не принадлежит к
рассматриваемой совокупности СВ X.
Пример.
При изучении
технологического процесса изготовления
электронного средства при n-1
независимых равноточных измерениях
некоторой физической величины было
получено среднее значение, равное m
= 8.6 и среднее
квадратическое значение S
= 0.121. Известно
также, что n
измерение дало результат x*
= 8.923. Необходимо
выяснить с вероятностью P
= 0.98, является
ли этот результат грубой ошибкой, если
n=61.
Решение.
Вычислим
.
Из
табл.1 tтабл.
(
= 0.02;60)
2.4.
Поскольку
2.67>2.4,
то этот означает, что измерение x*
= 8.923 содержит
грубую ошибку с вероятностью 0.98.
Вопрос
решался бы иначе, если бы, например,
число приемлемых измерений в результате
эксперимента равнялось 10.
В этом случае по табл.1 имеем tтабл.
(
= 0.02;10)
= 3.0. Поскольку
2.67 < 3.0, то
исключать x*
= 8.923 не
следует.
2.
Критерий Ирвина.
Сущность
критерия:
а) вычисляется расч.
по упорядоченному статистическому ряду
по формуле:
— если вызывает сомнение значение xn
или
— если вызывает сомнение значение x1
;
б) определяется
из табл.2.
Таблица 2.
|
|
расч. |
||||||||
|
2 |
3 |
10 |
20 |
30 |
50 |
100 |
400 |
1000 |
|
|
0.1 |
2.3 |
1.8 |
1.2 |
1.0 |
1.0 |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.6 |
|
0.05 |
2.8 |
2.2 |
1.5 |
1.3 |
1.2 |
1.1 |
1.0 |
0.9 |
0.8 |
|
0.01 |
3.7 |
2.9 |
2.0 |
1.8 |
1.7 |
1.6 |
1.5 |
1.3 |
1.2 |
|
0.005 |
4.0 |
3.2 |
2.3 |
2.0 |
1.9 |
1.8 |
1.6 |
1.5 |
1.4 |
в)
сравнивается расч.
и табл.
Если
расч.
> табл.,
то с вероятностью P
= 1-
значение x1
или xn
относится к резко выделяющемуся значению,
и оно исключается при статистической
обработке результатов эксперимента.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что
такое генеральная совокупность и выборка
изделий ?
2. Какие
оценки называются состоятельными,
несмещенными и эффективными ?
3. Как
строится гистограмма ?
4. Назовите
характеристики положения и рассеяния
случайных величин.
5. В
чем заключается сущность проверки
гипотезы о равенстве средних с помощью
критерия Стьюдента ?
6. Сущность
критерия Колмогорова.
7.
Сущность критерия Пирсона.
8.
Понятия случайных, систематических и
грубых ошибок.
9.
Критерий Романовского.
10.
Критерий Ирвина.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Изучение всех влияющих на исследуемый объект факторов одновременно
провести невозможно, поэтому в эксперименте рассматривается их ограниченное
число. Остальные активные факторы стабилизируются, т.е. устанавливаются на
каких-то одинаковых для всех опытов уровнях.
Некоторые факторы не могут быть обеспечены системами стабилизации
(например, погодные условия, самочувствие оператора и т.д.), другие же
стабилизируются с какой-то погрешностью (например, содержание какого-либо
компонента в среде зависит от ошибки при взятии навески и приготовления
раствора). Учитывая также, что измерение параметра у осуществляется
прибором, обладающим какой-то погрешностью, зависящей от класса точности
прибора, можно прийти к выводу, что результаты повторностей одного и того же
опыта ук будут приближенными и должны
отличаться один от другого и от истинного значения выхода процесса.
Неконтролируемое, случайное изменение и множества других влияющих на процесс
факторов вызывает случайные отклонения измеряемой величины ук
от ее истинного значения – ошибку опыта.
Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие
ограниченности экспериментального материала. Постановка повторных (или
параллельных) опытов не дает полностью совпадающих результатов, потому что
всегда существует ошибка опыта (ошибка воспроизводимости). Эту ошибку и нужно
оценить по параллельным опытам. Для этого опыт воспроизводится по возможности в
одинаковых условиях несколько раз и затем берется среднее арифметическое всех
результатов. Среднее арифметическое у равно сумме всех n отдельных результатов, деленной на
количество параллельных опытов n:
Отклонение результата любого опыта от среднего арифметического
можно представить как разность y2–
, где y2 – результат отдельного
опыта. Наличие отклонения свидетельствует об изменчивости, вариации значений
повторных опытов. Для измерения этой изменчивости чаще всего используют
дисперсию.
Дисперсией называется среднее значение квадрата отклонений
величины от ее среднего значения. Дисперсия обозначается s2 и
выражается формулой:
где (n-1)
– число степеней свободы, равное количеству опытов минус единица. Одна степень
свободы использована для вычисления среднего.
Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком,
называется средним квадратическим отклонением, стандартом или квадратичной
ошибкой:
Ошибка опыта является суммарной величиной, результатом многих
ошибок: ошибок измерений факторов, ошибок измерений параметра оптимизации и др.
Каждую из этих ошибок можно, в свою очередь, разделить на составляющие.
Все ошибки принято разделять на два класса: систематические и
случайные (рисунок 1).
Систематические ошибки порождаются причинами, действующими
регулярно, в определенном направлении. Чаще всего эти ошибки можно изучить и
определить количественно. Систематическая ошибка – это ошибка,
которая остаётся постоянно или закономерно изменяется при повторных измерениях
одной и той же величины. Эти ошибки появляются вследствие неисправности
приборов, неточности метода измерения, какого либо упущения экспериментатора,
либо использования для вычисления неточных данных. Обнаружить систематические
ошибки, а также устранить их во многих случаях нелегко. Требуется тщательный
разбор методов анализа, строгая проверка всех измерительных приборов и
безусловное выполнение выработанных практикой правил экспериментальных работ.
Если систематические ошибки вызваны известными причинами, то их можно
определить. Подобные погрешности можно устранить введением поправок.
Систематические ошибки находят, калибруя измерительные приборы и
сопоставляя опытные данные с изменяющимися внешними условиями (например, при
градуировке термопары по реперным точкам, при сравнении с эталонным прибором).
Если систематические ошибки вызываются внешними условиями (переменной
температуры, сырья и т.д.), следует компенсировать их влияние.
Случайными ошибками называются
те, которые появляются нерегулярно, причины, возникновения которых неизвестны и
которые невозможно учесть заранее. Случайные ошибки вызываются и объективными
причинами и субъективными. Например, несовершенством приборов, их освещением,
расположением, изменением температуры в процессе измерений, загрязнением
реактивов, изменением электрического тока в цепи. Когда случайная ошибка больше
величины погрешности прибора, необходимо многократно повторить одно и тоже
измерение. Это позволяет сделать случайную ошибку сравнимой с погрешностью
вносимой прибором. Если же она меньше погрешности прибора, то уменьшать её нет
смысла. Такие ошибки имеют значение, которое отличается в отдельных измерениях.
Т.е. их значения могут быть неодинаковыми для измерений сделанных даже в
одинаковых условиях. Поскольку причины, приводящие к случайным ошибкам
неодинаковы в каждом эксперименте, и не могут быть учтены, поэтому исключить
случайные ошибки нельзя, можно лишь оценить их значения. При многократном
определении какого-либо показателя могут встречаться результаты, которые
значительно отличаются от других результатов той же серии. Они могут быть
следствием грубой ошибки, которая вызвана невнимательностью экспериментатора.
Систематические и случайные ошибки состоят из множества
элементарных ошибок. Для того чтобы исключать инструментальные ошибки, следует
проверять приборы перед опытом, иногда в течение опыта и обязательно после опыта.
Ошибки при проведении самого опыта возникают вследствие неравномерного нагрева
реакционной среды, разного способа перемешивания и т.п.
При повторении опытов такие ошибки могут вызвать большой разброс
экспериментальных результатов.
Очень важно исключить из экспериментальных данных грубые ошибки,
так называемый брак при повторных опытах. Грубые ошибки легко
обнаружить. Для выявления ошибок необходимо произвести измерения в других
условиях или повторить измерения через некоторое время. Для предотвращения
грубых ошибок нужно соблюдать аккуратность в записях, тщательность в работе и
записи результатов эксперимента. Грубая ошибка должна быть исключена из
экспериментальных данных. Для отброса ошибочных данных существуют определённые
правила.
Например, используют критерий Стьюдента t (Р;
f):
Опыт считается бракованным, если экспериментальное значение критерия t по
модулю больше табличного значения t (Р; f).
Если в распоряжении исследователя имеется экспериментальная оценка
дисперсии S2(yk)
с небольшим конечным числом степеней свободы, то доверительные ошибки
рассчитываются с помощью критерий Стьюдента t (Р;
f):
ε()
= t (Р; f)* S(yk)/= t (Р; f)* S()
ε(yk) = t (Р; f)* S(yk)
Глава 1 Основные понятия статистики
Данная глава посвящена изложению основных понятий статистики эксперимента. Она может использоваться в качестве источника справочной информации.
1.1. Случайные ошибки результатов эксперимента
Говорят, что опыт эксперимента поставлен, когда необходимая аппаратура для его проведения была соответствующим образом настроена и функционировала при некотором заданном наборе определённых условий. Например, в химическом эксперименте опыт может быть проведён путём соединения в реакторе в определённых количествах химических реагентов, установки температуры и давления при определённых значениях и, позволив протекать реакции заданное время. В инженерной технологии опытом может быть обработка детали на станке при определённых технологических условиях. В психологическом эксперименте опыт может состоять в создании человеку некоторой управляемой стрессовой ситуации.
Вам также может быть полезна лекция «Лекция 2».
Результаты или данные эксперимента представляют собой результаты его опытов и обычно выражаются в виде чисел. Выполненные при одних и тех же условиях десять следующих один за другим опытов могут дать следующие результаты:
66,7 64,3 67,1 66,1 65,5 69,1 67,2 68,1 65,7 66,4
В химическом эксперименте данными могут быть процентный выход определённого вещества. В технологическом эксперименте данными могут быть значения шероховатости поверхности деталей при их обработке на станке, а в психологическом эксперименте данными могут быть периоды времени, затрачиваемые на выполнение определённого задания десятью подверженными стрессу персонами.
Однако, несмотря на то, что опыты эксперимента выполняются повторно при одних и тех же, как это только возможно сделать, условиях — результаты их выполнения всегда получаются разными. Происходящие при повторении опытов случайные изменения их результатов называются шумом, вариациями результатов эксперимента, ошибками эксперимента или просто ошибками. В этом случае ошибка используется в формальном и эмоционально нейтральном смысле. Она является выражением неустранимой в природе вариации. Такая статистическая ошибка не связана с порицанием, неодобрением или осуждением.
В дополнение к ошибкам измерения, округления и выборки ещё многие другие источники ошибок вносят вклад в вариацию результатов опытов эксперимента. Например, температура окружающей среды, мастерство или внимательность персонала, старение и чистота реагентов, эффективность или условия эксперимента – всё это может внести свои ошибки. Естественную вариацию результатов повторяемых опытов необходимо отличать от недоразумений или заблуждений, таких как неправильная постановка десятичной запятой во время записи результата или использование неправильного химического реагента.
Существенным недостатком многих экспериментаторов является отсутствие у них необходимых знаний, чтобы иметь дело с ситуациями, в которых нельзя безнаказанно игнорировать вариации результатов опытов эксперимента. Осведомлённость о возможных эффектах вариации результатов существенна не только при анализе данных, но является важной и при планировании получения данных, то есть при планировании экспериментов. Поэтому, элементарное понимание вариации результатов опытов и связанных с этим понятий теории вероятностей очень важно, чтобы иметь солидную базу, на которой строить практические приёмы планирования и анализа экспериментов.
Two Types of Experimental Error
No matter how careful you are, there is always error in a measurement. Error is not a «mistake»—it’s part of the measuring process. In science, measurement error is called experimental error or observational error.
There are two broad classes of observational errors: random error and systematic error. Random error varies unpredictably from one measurement to another, while systematic error has the same value or proportion for every measurement. Random errors are unavoidable, but cluster around the true value. Systematic error can often be avoided by calibrating equipment, but if left uncorrected, can lead to measurements far from the true value.
Key Takeaways
- Random error causes one measurement to differ slightly from the next. It comes from unpredictable changes during an experiment.
- Systematic error always affects measurements the same amount or by the same proportion, provided that a reading is taken the same way each time. It is predictable.
- Random errors cannot be eliminated from an experiment, but most systematic errors can be reduced.
Random Error Example and Causes
If you take multiple measurements, the values cluster around the true value. Thus, random error primarily affects precision. Typically, random error affects the last significant digit of a measurement.
The main reasons for random error are limitations of instruments, environmental factors, and slight variations in procedure. For example:
- When weighing yourself on a scale, you position yourself slightly differently each time.
- When taking a volume reading in a flask, you may read the value from a different angle each time.
- Measuring the mass of a sample on an analytical balance may produce different values as air currents affect the balance or as water enters and leaves the specimen.
- Measuring your height is affected by minor posture changes.
- Measuring wind velocity depends on the height and time at which a measurement is taken. Multiple readings must be taken and averaged because gusts and changes in direction affect the value.
- Readings must be estimated when they fall between marks on a scale or when the thickness of a measurement marking is taken into account.
Because random error always occurs and cannot be predicted, it’s important to take multiple data points and average them to get a sense of the amount of variation and estimate the true value.
Systematic Error Example and Causes
Systematic error is predictable and either constant or else proportional to the measurement. Systematic errors primarily influence a measurement’s accuracy.
Typical causes of systematic error include observational error, imperfect instrument calibration, and environmental interference. For example:
- Forgetting to tare or zero a balance produces mass measurements that are always «off» by the same amount. An error caused by not setting an instrument to zero prior to its use is called an offset error.
- Not reading the meniscus at eye level for a volume measurement will always result in an inaccurate reading. The value will be consistently low or high, depending on whether the reading is taken from above or below the mark.
- Measuring length with a metal ruler will give a different result at a cold temperature than at a hot temperature, due to thermal expansion of the material.
- An improperly calibrated thermometer may give accurate readings within a certain temperature range, but become inaccurate at higher or lower temperatures.
- Measured distance is different using a new cloth measuring tape versus an older, stretched one. Proportional errors of this type are called scale factor errors.
- Drift occurs when successive readings become consistently lower or higher over time. Electronic equipment tends to be susceptible to drift. Many other instruments are affected by (usually positive) drift, as the device warms up.
Once its cause is identified, systematic error may be reduced to an extent. Systematic error can be minimized by routinely calibrating equipment, using controls in experiments, warming up instruments prior to taking readings, and comparing values against standards.
While random errors can be minimized by increasing sample size and averaging data, it’s harder to compensate for systematic error. The best way to avoid systematic error is to be familiar with the limitations of instruments and experienced with their correct use.
Key Takeaways: Random Error vs. Systematic Error
- The two main types of measurement error are random error and systematic error.
- Random error causes one measurement to differ slightly from the next. It comes from unpredictable changes during an experiment.
- Systematic error always affects measurements the same amount or by the same proportion, provided that a reading is taken the same way each time. It is predictable.
- Random errors cannot be eliminated from an experiment, but most systematic errors may be reduced.
Sources
- Bland, J. Martin, and Douglas G. Altman (1996). «Statistics Notes: Measurement Error.» BMJ 313.7059: 744.
- Cochran, W. G. (1968). «Errors of Measurement in Statistics». Technometrics. Taylor & Francis, Ltd. on behalf of American Statistical Association and American Society for Quality. 10: 637–666. doi:10.2307/1267450
- Dodge, Y. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms. OUP. ISBN 0-19-920613-9.
- Taylor, J. R. (1999). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements. University Science Books. p. 94. ISBN 0-935702-75-X.
Two Types of Experimental Error
No matter how careful you are, there is always error in a measurement. Error is not a «mistake»—it’s part of the measuring process. In science, measurement error is called experimental error or observational error.
There are two broad classes of observational errors: random error and systematic error. Random error varies unpredictably from one measurement to another, while systematic error has the same value or proportion for every measurement. Random errors are unavoidable, but cluster around the true value. Systematic error can often be avoided by calibrating equipment, but if left uncorrected, can lead to measurements far from the true value.
Key Takeaways
- Random error causes one measurement to differ slightly from the next. It comes from unpredictable changes during an experiment.
- Systematic error always affects measurements the same amount or by the same proportion, provided that a reading is taken the same way each time. It is predictable.
- Random errors cannot be eliminated from an experiment, but most systematic errors can be reduced.
Random Error Example and Causes
If you take multiple measurements, the values cluster around the true value. Thus, random error primarily affects precision. Typically, random error affects the last significant digit of a measurement.
The main reasons for random error are limitations of instruments, environmental factors, and slight variations in procedure. For example:
- When weighing yourself on a scale, you position yourself slightly differently each time.
- When taking a volume reading in a flask, you may read the value from a different angle each time.
- Measuring the mass of a sample on an analytical balance may produce different values as air currents affect the balance or as water enters and leaves the specimen.
- Measuring your height is affected by minor posture changes.
- Measuring wind velocity depends on the height and time at which a measurement is taken. Multiple readings must be taken and averaged because gusts and changes in direction affect the value.
- Readings must be estimated when they fall between marks on a scale or when the thickness of a measurement marking is taken into account.
Because random error always occurs and cannot be predicted, it’s important to take multiple data points and average them to get a sense of the amount of variation and estimate the true value.
Systematic Error Example and Causes
Systematic error is predictable and either constant or else proportional to the measurement. Systematic errors primarily influence a measurement’s accuracy.
Typical causes of systematic error include observational error, imperfect instrument calibration, and environmental interference. For example:
- Forgetting to tare or zero a balance produces mass measurements that are always «off» by the same amount. An error caused by not setting an instrument to zero prior to its use is called an offset error.
- Not reading the meniscus at eye level for a volume measurement will always result in an inaccurate reading. The value will be consistently low or high, depending on whether the reading is taken from above or below the mark.
- Measuring length with a metal ruler will give a different result at a cold temperature than at a hot temperature, due to thermal expansion of the material.
- An improperly calibrated thermometer may give accurate readings within a certain temperature range, but become inaccurate at higher or lower temperatures.
- Measured distance is different using a new cloth measuring tape versus an older, stretched one. Proportional errors of this type are called scale factor errors.
- Drift occurs when successive readings become consistently lower or higher over time. Electronic equipment tends to be susceptible to drift. Many other instruments are affected by (usually positive) drift, as the device warms up.
Once its cause is identified, systematic error may be reduced to an extent. Systematic error can be minimized by routinely calibrating equipment, using controls in experiments, warming up instruments prior to taking readings, and comparing values against standards.
While random errors can be minimized by increasing sample size and averaging data, it’s harder to compensate for systematic error. The best way to avoid systematic error is to be familiar with the limitations of instruments and experienced with their correct use.
Key Takeaways: Random Error vs. Systematic Error
- The two main types of measurement error are random error and systematic error.
- Random error causes one measurement to differ slightly from the next. It comes from unpredictable changes during an experiment.
- Systematic error always affects measurements the same amount or by the same proportion, provided that a reading is taken the same way each time. It is predictable.
- Random errors cannot be eliminated from an experiment, but most systematic errors may be reduced.
Sources
- Bland, J. Martin, and Douglas G. Altman (1996). «Statistics Notes: Measurement Error.» BMJ 313.7059: 744.
- Cochran, W. G. (1968). «Errors of Measurement in Statistics». Technometrics. Taylor & Francis, Ltd. on behalf of American Statistical Association and American Society for Quality. 10: 637–666. doi:10.2307/1267450
- Dodge, Y. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms. OUP. ISBN 0-19-920613-9.
- Taylor, J. R. (1999). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements. University Science Books. p. 94. ISBN 0-935702-75-X.
Случайные, систематические и грубые ошибки
Под
случайными
понимают ошибки, значения которых
меняются от одного измерения к другому.
Они являются следствием случайных
ошибок контрольно – измерительных
приборов, случайных ошибок экспериментатора,
неточных соблюдений методики измерения,
непостоянством самой контролируемой
величины. Для количественной оценки
случайных ошибок применяют математический
аппарат теории вероятностей и
математической статистики.
Наиболее
полно случайные ошибки могут быть
оценены функцией их распределения,
получаемой многократными наблюдениями
с последующей статистической обработкой
полученных экспериментальных данных.
Отличие
систематических
ошибок от
случайных состоит в том, что их значение
остается постоянным при проведении
серии однотипных измерений; причины их
возникновения известны, следовательно,
они могут быть исключены из окончательного
результата, если их величина предварительно
определена. К систематическим ошибкам
можно отнести ошибки эталонов, по которым
проградуированы контрольно – измерительные
приборы, систематические ошибки,
связанные с принятой методикой измерения
(например, ошибки, возникшие вследствие
неучета температурных поправок,
применения приближенных формул расчета
и т.д.), “личные ошибки” экспериментатора,
т.е. присущие данному лицу и др. Различают
также постоянные (неизменные во времени)
и прогрессирующие (возрастающие или
убывающие во времени) систематические
ошибки.
Грубые
ошибки (промахи) являются результатом
нарушения условия и процесса измерений.
Их характерным признаком является
резкое отличие от результатов
предшествующих измерений. Повторение
эксперимента (если это возможно) является
наиболее надежным, достоверным и
эффективным способом обнаружения грубых
ошибок.
Современные
математические методы обработки
результатов эксперимента базируется
на вероятностном подходе и предполагают,
что ошибки измерения являются случайными.
При этом предполагается, что к началу
этой обработки все грубые и систематические
ошибки выявлены и устранены.
Рассмотрим
практические методы исключения грубых
ошибок, если их не удалось исключить в
процессе проведения экспериментов.
Методы исключения резко выделяющихся результатов эксперимента
1. Критерий
Романовского.
Имеется
упорядоченный статистический ряд
измеренных значений случайной величины
x:
x1,
x2,
…, xi,
…, xn.
Здесь:
х1
или хn
– значения, которые вызывают сомнения
(резко отличаются от остальных значений);
n
– объем выборки.
Сущность критерия:
а)
вычисляется
,
где
— резко выделяющее значение, в качестве
которого взято значение
или
;
и
— выборочные значения математического
ожидания и среднего квадратического
отклонения, вычисленные без значения
(при объеме выборки n-1);
б)
определяется
из табл. 1.
Таблица1
Табличные значения критерия Романовского
|
|
tтабл. |
|||||||||||||
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
30 |
40 |
60 |
|
|
|
0.01 |
78 |
11.5 |
6.5 |
5 |
4.4 |
4 |
3.7 |
3.5 |
3.4 |
2.9 |
2.8 |
2.7 |
2.7 |
2.6 |
|
0.02 |
39 |
8 |
5.1 |
4.1 |
3.6 |
3.4 |
3.2 |
3.1 |
3 |
2.6 |
2.5 |
2.5 |
2.4 |
2.3 |
|
0.05 |
15.6 |
5 |
3.6 |
3 |
2.8 |
2.6 |
2.5 |
2.4 |
2.4 |
2.2 |
2.1 |
2.0 |
2.0 |
2.0 |
в)
сравнивается tрасч.
и tтабл.
Если
tрасч.
> tтабл.,
то с вероятностью P=1-
значение x1
или xn
статистического ряда не принадлежит к
рассматриваемой совокупности СВ X.
Пример.
При изучении
технологического процесса изготовления
электронного средства при n-1
независимых равноточных измерениях
некоторой физической величины было
получено среднее значение, равное m
= 8.6 и среднее
квадратическое значение S
= 0.121. Известно
также, что n
измерение дало результат x*
= 8.923. Необходимо
выяснить с вероятностью P
= 0.98, является
ли этот результат грубой ошибкой, если
n=61.
Решение.
Вычислим
.
Из
табл.1 tтабл.
(
= 0.02;60)
2.4.
Поскольку
2.67>2.4,
то этот означает, что измерение x*
= 8.923 содержит
грубую ошибку с вероятностью 0.98.
Вопрос
решался бы иначе, если бы, например,
число приемлемых измерений в результате
эксперимента равнялось 10.
В этом случае по табл.1 имеем tтабл.
(
= 0.02;10)
= 3.0. Поскольку
2.67 < 3.0, то
исключать x*
= 8.923 не
следует.
2.
Критерий Ирвина.
Сущность
критерия:
а) вычисляется расч.
по упорядоченному статистическому ряду
по формуле:
— если вызывает сомнение значение xn
или
— если вызывает сомнение значение x1
;
б) определяется
из табл.2.
Таблица 2.
|
|
расч. |
||||||||
|
2 |
3 |
10 |
20 |
30 |
50 |
100 |
400 |
1000 |
|
|
0.1 |
2.3 |
1.8 |
1.2 |
1.0 |
1.0 |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.6 |
|
0.05 |
2.8 |
2.2 |
1.5 |
1.3 |
1.2 |
1.1 |
1.0 |
0.9 |
0.8 |
|
0.01 |
3.7 |
2.9 |
2.0 |
1.8 |
1.7 |
1.6 |
1.5 |
1.3 |
1.2 |
|
0.005 |
4.0 |
3.2 |
2.3 |
2.0 |
1.9 |
1.8 |
1.6 |
1.5 |
1.4 |
в)
сравнивается расч.
и табл.
Если
расч.
> табл.,
то с вероятностью P
= 1-
значение x1
или xn
относится к резко выделяющемуся значению,
и оно исключается при статистической
обработке результатов эксперимента.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что
такое генеральная совокупность и выборка
изделий ?
2. Какие
оценки называются состоятельными,
несмещенными и эффективными ?
3. Как
строится гистограмма ?
4. Назовите
характеристики положения и рассеяния
случайных величин.
5. В
чем заключается сущность проверки
гипотезы о равенстве средних с помощью
критерия Стьюдента ?
6. Сущность
критерия Колмогорова.
7.
Сущность критерия Пирсона.
8.
Понятия случайных, систематических и
грубых ошибок.
9.
Критерий Романовского.
10.
Критерий Ирвина.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Статьи
Главная страница
Из графика
видно, что существует вероятность, пусть и очень маленькая, что наше единичное
измерение покажет результат, сколь угодно далеко отстоящий от истинного
значения. Выходом из положения является проведение серии измерений. Если на
разброс данных действительно влияет случай, то в результате нескольких
измерений мы скорее всего получим следующее (рис 2):
Будет ли
рассчитанное среднее значение нескольких измерений совпадать с истинным? Как
правило – нет. Но по теории вероятности, чем больше сделано измерений, тем
ближе найденное среднее значение к истинному. На языке математики это можно
записать так:
Но с бесконечностью у всех дело обстоит неважно. Поэтому на практике мы имеем дело
не со всеми возможными результатами измерений, а с некоторой выборкой из этого
бесконечного множества. Сколько же реально следует делать измерений? Наверное,
до тех пор, пока полученное среднее значение не будет отличаться от истинного
меньше чем точность отдельного измерения.
Следовательно,
когда наше среднее значение (рис. 2) отличается от истинного меньше чем
погрешность измерений, дальнейшее увеличение числа опытов бессмысленно. Однако
на практике мы не знаем истинного значения! Значит, получив среднее по
результатам серии опытов, мы должны определить, какова вероятность того, что
истинное значение находится внутри заданного интервала ошибки. Или каков тот
доверительный интервал, в который с заданной надежностью попадет истинное
значение (рис 3).
Рассмотрим
некоторый условный эксперимент, где в серии измерений получены некоторые
значения величины Х (см. табл. 1). Рассчитаем среднее значение и, чтобы оценить
разброс данных найдем величины DХ = Х –
Хср
|
Таблица |
||||||
|
№ |
Х |
Х ср |
DХ |
DХ2 |
s2 |
s |
|
1 |
130 |
143,5 » 144 |
-13,5 |
182,3 |
420 |
20,5 |
|
2 |
162 |
18,5 |
342,3 |
|||
|
3 |
160 |
16,5 |
272,3 |
s2ср |
sср |
|
|
4 |
122 |
-21,5 |
462,3 |
105 |
10,2 |
Ясно, что
величины DХ как-то характеризуют
разброс данных. На практике для усредненной характеристики разброса серии измерений используется
дисперсия выборки:
и среднеквадратичное или стандартное отклонение выборки:
Последнее
показывает, что каждое измерение в данной серии (в данной выборке) отличается
от другого в среднем на ± s.
Понятно, что каждое отдельное
значение оказывает влияние на средний результат. Но это влияние тем меньше, чем
больше измерений в нашей выборке. Поэтому дисперсия и стандартное отклонение
среднего значения, будет определяться по формулам:
Можем ли мы теперь определить вероятность того, что
истинное значение попадет в указанный интервал среднего? Или наоборот,
рассчитать тот доверительный интервал в который истинное значение
попадет с заданной вероятностью (95%)? Поскольку кривая на наших графиках это
распределение вероятностей, то площадь под кривой, попадающая в указанный
интервал и будет равна этой вероятности (доля площади, в процентах). А площади
математики научились рассчитывать хорошо, знать бы только уравнение этой
кривой.
И здесь мы сталкиваемся еще с одной сложностью. Кривая, которая описывает распределение
вероятности для выборки, для ограниченного числа измерений, уже не будет кривой нормального
распределения. Ее форма будет зависеть
не только от дисперсии (разброса данных) но и от степени свободы для выборки
(от числа независимых измерений) (рис 4):
Уравнения этих кривых впервые были предложены в 1908
году английским математиком и химиком Госсетом, который опубликовал их под
псевдонимом Student (студент), откуда пошло хорошо известные термины
«коэффициент Стьюдента» и аналогичные. Коэффициенты Стьюдента получены на
основе обсчета этих кривых для разных степеней свободы (f = n-1) и уровней
надежности (Р) и сведены в специальные таблицы. Для получения доверительного интервала необходимо
умножить уже найденное стандартное отклонение среднего на соответствующий
коэффициент Стьюдента. ДИ = sср*tf, P
Проанализируем, как меняется доверительный интервал
при изменении требований к надежности результата и числа измерений в серии.
Данные в таблице 2 показывают, что чем больше требование к надежности, тем
больше будет коэффициент Стьюдента и, следовательно, доверительный интервал. В большинстве случаев, приемлемым считают значение Р=95%
|
Таблица |
||||
|
P |
0,9 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
|
t5, |
2,02 |
2,57 |
4,03 |
6,87 |
|
Таблица |
|||||||
|
f= |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
16 |
30 |
|
tf, |
12,7 |
4,3 |
3,18 |
2,78 |
2,57 |
2,23 |
2,04 |
Из таблицы 3 и графика
видно, что чем больше число измерений, тем меньше коэффициент и доверительный
интервал для данного уровня надежности. Особенно значительное падение
происходит при переходе от степени свободы 1 (два измерения) к 2 (три
измерения). Отсюда следует, что имеет смысл ставить не менее трех параллельных
опытов, проводить не менее трех измерений.
Окончательно
для измеряемой величины Х получаем значение Хсред±sср*tf,P. В
нашем случае получаем: f=3; t=3,18;
ДИ = 3,18*10,2 = 32,6; X = 143,5 ±32,6
Как правило,
значение доверительного интервала округляется до одной значащей цифры, а
значение измеряемой величины – в соответствии с округлением доверительного
интервала. Поэтому для нашей серии окончательно имеем: X = 140 ±30
Найденная
нами погрешность является абсолютной погрешностью и ничего не говорит еще о
точности измерений. Она свидетельствует о точности измерений только в сравнении
с измеряемой величиной. Отсюда представление об относительной ошибке:
Косвенные определения.
Исследуемая величина рассчитывается в этом случае с помощью
математических формул по другим величинам, которые были измерены
непосредственно. В этом случае для расчета ошибок можно использовать
соотношения, приведенные в таблице 4.
|
Таблица |
||
|
Формула |
Абсолютная |
Относительная |
|
x = a ± b |
Dx = Da+Db |
e = |
|
x = a* b; x = a* k |
Dx = bDa+aDb; Dx = kDa |
e = Da/a+Db/b = ea + e b |
|
x = a / b |
Dx = (bDa+aDb) / b2 |
e = Da/a+Db/b = ea + e b |
|
x = a*k; (x = a / k) |
Dx = Da*k; (Dx = Da/k ) |
e = ea |
|
x = a2 |
Dx = 2aDa |
e = 2Da/a = 2ea |
|
x = Öa |
Dx = Da/(2Öa) |
e = Da/2a = ea/2 |
Из таблицы видно, что относительная ошибка и точность определения не изменяются при умножении (делении) на некоторый постоянный коэффициент. Особенно сильно относительная ошибка может возрасти при вычитании
близких величин, так как при этом абсолютные ошибки суммируются, а значение Х
может уменьшиться на порядки.
Пусть например, нам необходимо определить
объем проволочки.
Если диаметр проволочки измерен с погрешностью 0,01 мм (микрометром) и равен 4 мм, то относительная погрешность составит 0,25% (приборная). Если
длину проволочки (200 мм) мы измерим линейкой с погрешностью 0,5 мм, то относительная погрешность также составит 0,25%. Объем можно рассчитать по формуле: V=(pd2/4)*L. Посмотрим, как будут меняться ошибки
по мере проведения расчетов (табл. 5):
|
Таблица 5. Расчет абсолютных и относительных ошибок. |
|||
|
Величина |
Значение |
Абсолютная |
Относительная |
|
d2 |
16 |
Dx = 2*4*0,01=0,08 |
e = 0,5% |
|
pd2 *) |
50,27 |
Dx = 0,08*3,14+0,0016*16 |
e = 0,55% |
|
pd2/4 |
12,57 |
Dx = 0,28/4 = 0,07 |
e = 0,55% |
|
(pd2/4)*L |
2513 |
Dx = 12,57*0,5+200*0,07=20 |
e = 0,8% |
|
*) Если мы возьмем привычное p=3,14, то Dp=0,0016 |
Окончательный
результат V=2510±20 (мм3) e
=0,8%. Чтобы повысить точность косвенного определения, нужно в первую очередь
повышать точность измерения той величины, которая вносит больший вклад в ошибку
(в данном случае – точность измерения диаметра проволочки).
План проведения измерений:
[1]
1. Знакомство
с методикой, подготовка прибора, оценка приборной погрешности d. Оценка возможных причин
систематических ошибок, их исключение.
2.
Проведение серии измерений. Если получены совпадающие результаты, можно
считать что случайная ошибка равна 0, DХ
= d. Переходим к пункту 7.
3.
Исключение промахов – результатов значительно отличающихся по своей
величине от остальных.
4.
Расчет
среднего значения Хср, и стандартного отклонение среднего
значения scp
5.
Задание значения уровня надежности P,
определение коэффициента Стьюдента t и
нахождение доверительного интервала ДИ= t*scp
6.
Сравнение случайной и приборной погрешности, при этом возможны варианты:
—
ДИ << d, можно
считать, что DХ = d, повысить точность измерения
можно, применив более точный прибор
—
ДИ >> d, можно
считать, что DХ = ДИ,
повысить точность можно, уменьшая случайную ошибку, повышая число измерений в
серии, снижая требования к надежности.
—
ДИ » d, в этом
случае расчитываем ошибку по формуле DХ
= 
7.
Записывается окончательный результат Х = Хср ± DХ.
Оценивается относительная ошибка
измерения e = DХ/Хср
Если
проводится несколько однотипных измерений (один прибор, исследователь, порядок
измеряемой величины, условия) то подобную работу можно проводить один раз. В
дальнейшем можно считать DХ
постоянной и ограничиться минимальным числом измерений (два-три измерения
должны отличаться не более, чем на DХ)
Для косвенных
измерений необходимо провести обработку данных измерения каждой величины. При
этом желательно использовать приборы, имеющие близкие относительные погрешности
и задавать одинаковую надежность для расчета доверительного интервала. На
основании полученных значений Da, Db, определяется DХ
для результирующей величины (см табл. 4). Для повышения точности надо
совершенствовать измерение той величины, вклад ошибки которой в DХ наиболее существенен.
Изучение зависимостей.
Частым вариантом экспериментальной работы является
измерение различных величин с целью установления зависимостей. Характер этих
зависимостей может быть различен: линейный, квадратичный, экспоненциальный,
логарифмический, гиперболический. Для выявления зависимостей широко
используется построение графиков.
При построении графиков вручную важно правильно
выбрать оси, величины, масштаб, шкалы. Следует предупредить школьников, что
шкалы должны иметь равномерный характер, нежелательна как слишком детальная,
так и слишком грубая их разметка. Точки должны заполнять всю площадь графика,
их расположение в одном углу, или «прижатыми» к одной из осей, говорит о
неправильно выбранном масштабе и затрудняет определение характера зависимости.
При проведении линии по точкам надо использовать теоретические представление о
характере зависимости: является она непрерывной или прерывистой, возможно ли ее
прохождение через начало координат, отрицательные значения, максимумы и
минимумы.
Наиболее легко проводится и анализируется прямая
линия. Поэтому часто при изучении более сложных зависимостей часто используется
линеаризация зависимостей, которая достигается подходящей заменой переменных.
Например:
Зависимость 
. Вводя новую переменную
, получаем уравнение
a = bx, которое
будет изображаться на графике прямой линией. Наклон этой прямой позволяет
рассчитать константу диссоциации.
Разумеется и в этом случае полученные в эксперименте данные включают в себя различные ошибки, и точки редко лежат строго на прямой. Возникает
вопрос, как с наибольшей точностью провести прямую по экспериментальным точкам, каковы ошибки в определении
параметров.
Математическая статистика показывает, что наилучшим
приближением будет такая линия, для которой дисперсия (разброс) точек
относительно ее будет минимальным. А дисперсия определяется как средний квадрат
отклонений наблюдаемого положения точки от расчитанного:
Отсюда название этого метода – метод наименьших
квадратов. Задавая условие, чтобы величина s2
принимала минимальное значение, получают формулы для коэффициентов а и b в уравнении прямой у = а + bx:
и формулы для расчета соответствующих ошибок
[2].
Если
делать расчеты, используя калькулятор, то лучше оформлять их в виде таблицы:
|
x |
x2 |
y |
y2 |
xy |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
Sx = |
Sx2 |
Sy = |
Sy2 |
Sxy = |
Подводя
итог, следует сказать, что обработка данных эксперимента достаточно сложный
этап работы ученого. Необходимость проведения большого числа измерений требует
большой затраты времени и материальных ресурсов. Громоздкость формул, необходимость
использования большого числа значащих цифр затрудняют вычисления. Поэтому, возможно,
не все рекомендации этой статьи применимы в рамках школьного исследования. Но
понимать их сущность, значимость, необходимость, и в соответствии с этим
адекватно оценивать свои результаты, должен любой исследователь.
В настоящее время обработку экспериментальных данных
существенно облегчают современные компьютерные технологии, современное
программное обеспечение. Об том, как их можно использовать – в следующей
статье.
Литература:
[1]
Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений, М., «Наука»,
1970, 194 с.
[2]
Петерс Д., Хайес Дж., Хифтье Г. Химическое разделение и измерение – М.,: Химия,
1978, 816 с.
Глава 1 Основные понятия статистики
Данная глава посвящена изложению основных понятий статистики эксперимента. Она может использоваться в качестве источника справочной информации.
1.1. Случайные ошибки результатов эксперимента
Говорят, что опыт эксперимента поставлен, когда необходимая аппаратура для его проведения была соответствующим образом настроена и функционировала при некотором заданном наборе определённых условий. Например, в химическом эксперименте опыт может быть проведён путём соединения в реакторе в определённых количествах химических реагентов, установки температуры и давления при определённых значениях и, позволив протекать реакции заданное время. В инженерной технологии опытом может быть обработка детали на станке при определённых технологических условиях. В психологическом эксперименте опыт может состоять в создании человеку некоторой управляемой стрессовой ситуации.
Вам также может быть полезна лекция «Лекция 2».
Результаты или данные эксперимента представляют собой результаты его опытов и обычно выражаются в виде чисел. Выполненные при одних и тех же условиях десять следующих один за другим опытов могут дать следующие результаты:
66,7 64,3 67,1 66,1 65,5 69,1 67,2 68,1 65,7 66,4
В химическом эксперименте данными могут быть процентный выход определённого вещества. В технологическом эксперименте данными могут быть значения шероховатости поверхности деталей при их обработке на станке, а в психологическом эксперименте данными могут быть периоды времени, затрачиваемые на выполнение определённого задания десятью подверженными стрессу персонами.
Однако, несмотря на то, что опыты эксперимента выполняются повторно при одних и тех же, как это только возможно сделать, условиях — результаты их выполнения всегда получаются разными. Происходящие при повторении опытов случайные изменения их результатов называются шумом, вариациями результатов эксперимента, ошибками эксперимента или просто ошибками. В этом случае ошибка используется в формальном и эмоционально нейтральном смысле. Она является выражением неустранимой в природе вариации. Такая статистическая ошибка не связана с порицанием, неодобрением или осуждением.
В дополнение к ошибкам измерения, округления и выборки ещё многие другие источники ошибок вносят вклад в вариацию результатов опытов эксперимента. Например, температура окружающей среды, мастерство или внимательность персонала, старение и чистота реагентов, эффективность или условия эксперимента – всё это может внести свои ошибки. Естественную вариацию результатов повторяемых опытов необходимо отличать от недоразумений или заблуждений, таких как неправильная постановка десятичной запятой во время записи результата или использование неправильного химического реагента.
Существенным недостатком многих экспериментаторов является отсутствие у них необходимых знаний, чтобы иметь дело с ситуациями, в которых нельзя безнаказанно игнорировать вариации результатов опытов эксперимента. Осведомлённость о возможных эффектах вариации результатов существенна не только при анализе данных, но является важной и при планировании получения данных, то есть при планировании экспериментов. Поэтому, элементарное понимание вариации результатов опытов и связанных с этим понятий теории вероятностей очень важно, чтобы иметь солидную базу, на которой строить практические приёмы планирования и анализа экспериментов.