Случайная систематическая ошибка геодезия - Ремонт и установка крупной бытовой техники

Погрешности
бывают систематические, грубые,
случайные.

Грубые
-возникают в результате невнимательности
(просчеты, неверные записи). Для их
устранения измерения повторяют несколько
раз.

Систематические
— обусловлены неточностью измерительных
приборов. Для уменьшения влияния вводят
поправки.

Случайные
погрешности обусловлены несовершенством
приборов, изменением условий измерений,
личными ошибками, неточным наведением
и другими. Случайные погрешности
определяются по формуле

Χi=
li — Х,

где
li — результат измерения

Х
— истинное значение определяемой
величины.

Статистические
свойства случайных погрешностей:

1.
Свойство ограниченности (при данных
условиях измерений случайные погрешности
не могут превышать предела |Δi | <Δпред.
В качестве предельной погрешности с
вероятностью р = 0.9973 принимают утроенное
значение стандарта Δiпред.= 3m;

2.
Свойство плотности — малые по абсолютной
величине погрешности появляются чаще
больших.

3.
Свойство компенсации — среднее
арифметическое из случайных погрешностей
стремится к нулю при неограниченном
возрастании числа измерений limΣΔi= 0;

4.
Свойство симметрии — одинаковые по
абсолютной величине положительные и
отрицательные погрешности равновозможны.

6. Критерии оценки точности.

Все
измерения, как бы тщательно они не были
выполнены, сопровождаются погрешностями.
В этом легко убедиться, измерив одну и
ту же величину несколько раз и сравнив
полученные результаты. В общем случае
они будут отличаться друг от друга.

Все
погрешности измерений можно подразделить
на три группы:

1.
Грубые погрешности или промахи,
резко отклоняют результаты измерений
от истинного значения. Всегда они
возникают только по вине исполнителя.
Наиболее действенными методами
обнаружения грубых погрешностей является
производство избыточных измерений. Вот
почему в геодезии каждую величину
измеряют, как правило, не менее двух
раз.

2.
Систематические элементарные
погрешностипорождаются существенными
связями между факторами измерений и
возникают всякий раз при одних и тех же
условиях. Систематическиепогрешности
подчинены какой-то в той или иной степени
определенной закономерности.

Закономерности
эти поддаются изучению. И при определенных
условиях систематические погрешности
могут быть исключены из отдельного
результата измерений.

3.
Случайные элементарные погрешностипорождаются не существенными, а
второстепенными случайными связями
между факторами измерений, при данных
условиях измерений они могут быть, а
могут и не появиться, могут быть большими
или меньшими, положительными или
отрицательными.Величина
и знак этих погрешностей носит случайный
характер.

Суммарное
влияние элементарных систематических
погрешностей образует систематическую
погрешностьθ результата
измерения, а суммарное влияние элементарных
случайных погрешностей—
случайную погрешностьΔ
результата измерений.

Таким
образом, погрешность измерения ε можно
представить как сумму двух составляющих:
ε= θ +Δ.

7. Методы построения геодезических сетей.

Конечной
целью построения ГС является определение
координат геодезических пунктов.
Существуют следующие методы построения
ГС:

1)
Триангуляция
—
метод построения на местности ГС в виде
треугольников, у которых измерены все
углы и базисные выходные стороны
(рис.14.1). Длины остальных сторон вычисляют
по тригонометрическим формулам, затем
находят дирекционные углы сторон и
определяют координаты.

2)
Трилатерация
—
метод построения ГС в виде треугольников,
у которых измерены длины сторон
(расстояния между геодезическими
пунктами), а углы между сторонами
вычисляют. Например, на рис.14 имеем
cosA=(b2+c2-a2) / 2bc.

Рис.14.1.
Схема геодезической сети в виде
триангуляции
3)
Полигонометрия
—
метод построения ГС на местности в виде
ломаных линий, называемых ходами
(рис.14.2), вершины которых закреплены
геодезическими пунктами. Измеряются
длины сторон хода и горизонтальные углы
между ними.

Рис.14.2.Схема
полигонометрического хода Полигонометрические
ходы опираются на пункты триагуляции,
относительно которых вычисляются
плановые координаты пунктов хода, а их
высотные координаты определяются
нивелированием.

4)
Линейно-угловые построения, в которых
сочетаются линейные и угловые измерения.
Форма сети может быть различная, например
четырехугольник, у которого измеряют
все горизонтальные углы и две смежные
стороны, а две другие стороны вычисляют.

5)
Методы с использованием спутниковых
технологий, в которых координаты пунктов
определяются с помощью спутниковых
систем — российской Глонасс и американской
GPS.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Теория ошибок измерений изучает свойства ошибок и законы их распределения, методы обработки измерений с учетом их ошибок, а также способы вычисления числовых характеристик точности измерений. При многократных измерениях одной и той же величины результаты измерений получаются неодинаковыми. Этот очевидный факт говорит о том, что измерения сопровождаются разными по величине и по знаку ошибками. Задача теории ошибок – нахождение наиболее надежного значения измеренной величины, оценка точности результатов измерений и их функций и установление допусков, ограничивающих использование результатов обработки измерений.

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Начальные сведения из теории ошибок

Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.

Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник какой-либо систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной ошибкой, ухудшающей качество измерений.

Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений (строгостью теории), точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий. Закономерности случайных ошибок проявляются в массе, то-есть, при большом количестве измерений; такие закономерности называют статистическими. Освободить результат единичного измерения от случайных ошибок невозможно; невозможно также предсказать случайную ошибку единичного измерения. Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная истинная ошибка измерения Δ – это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением X:
(1.25)

Свойства случайных ошибок. Случайные ошибки подчиняются некоторым закономерностям:

1. при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, она считается грубой,
2. положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны,
3. среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений. Третье свойство случайных ошибок записывается так:
(1.26)
4. малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Кроме того, во всей массе случайных ошибок не должно быть явных закономерностей ни по знаку, ни по величине. Если закономерность обнаруживается, значит здесь сказывается влияние какой-то систематической ошибки.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения. Для оценки точности измерений можно применять разные критерии; в геодезии таким критерием является средняя квадратическая ошибка. Это понятие было введено Гауссом; он же разработал основные положения теории ошибок. Средняя квадратическая ошибка одного измерения обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:
(1.27)

где: ;
n – количество измерений одной величины.

Средняя квадратическая ошибка очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, так как каждая ошибка возводится в квадрат. В то же время она является устойчивым критерием для оценки точности даже при небольшом количество измерений; начиная с некоторого n дальнейшее увеличение числа измерений почти не изменяет значения m; доказано, что уже при n = 8 значение m получается достаточно надежным.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается Δпред; она обычно принимается равной 3*m при теоретических исследованиях и 2*m или 2.5*m при практических измерениях. Считается, что из тысячи измерений только три ошибки могут достигать или немного превосходить значение Δпред = 3*m.

Начальные сведения из теории ошибок

Отношение mx/X называется средней квадратической относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, mx/X = 1/10 000.

Средняя квадратическая ошибка функции измеренных величин. Выведем формулу средней квадратической ошибки функции нескольких аргументов произвольного вида:

F = f( X, Y, Z … ), (1.28)

здесь: X, Y, Z … – истинные значения аргументов,
F – истинное значение функции.

В результате измерений получены измеренные значения аргументов lX, lY, lZ, при этом:
Начальные сведения из теории ошибок (1.29)

где ΔX, ΔY, ΔZ – случайные истинные ошибки измерения аргументов.

Функцию F можно выразить через измеренные значения аргуметов и их истинные ошибки:

Разложим функцию F в ряд Тейлора, ограничившись первой степенью малых приращений ΔX, ΔY, ΔZ:
(1.30)

Разность является случайной истинной ошибкой функции с противоположным знаком, поэтому:
(1.31)

Если выполнить n измерений аргументов X, Y, Z, то можно записать n уравнений вида (1.31). Возведем все эти уравнения в квадрат и сложим их; суммарное уравнение разделим на n и получим

В силу третьего свойства случайных ошибок члены, содержащие произведения случайных ошибок, будут незначительными по величине, и их можно не учитывать; таким образом,
(1.32)

Как частные случаи формулы (1.32) можно написать выражения для средней квадратической ошибки некоторых функций:
Начальные сведения из теории ошибок
Если функция имеет вид произведения нескольких аргументов,

F = x * y * z,

то для нее можно записать выражение относительной ошибки функции:
(1.33)

которое в некоторых случаях оказывается более удобным, чем формула (1.32).

Принцип равных влияний. В геодезии часто приходится определять средние квадратические ошибки аргументов по заданной средней квадратической ошибке функции. Если аргумент всего один, то решение задачи не представляет трудности. Если число аргументов t больше одного, то возникает задача нахождения t неизвестных из одного уравнения, которую можно решить, применяя принцип равных влияний. Согласно этому принципу все слагаемые правой части формулы (1.32) или (1.33) считаются равными между собой.

Арифметическая середина. Пусть имеется n измерений одной величины X, то-есть,
Начальные сведения из теории ошибок (1.34)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:
(1.35)

Величина (1.36)

называется средним арифметическим или простой арифметической серединой. Запишем (1.35) в виде

по третьему свойству ошибок (1.26) можно написать:
Начальные сведения из теории ошибок
что означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины. При ограниченном количестве измерений арифметическая середина является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.

Запишем формулу (1.36) в виде

и подсчитаем среднюю квадратическую ошибку арифметической середины, которая обозначается буквой M. Согласно формуле (1.32) напишем:

или

Но ml1 = ml2 = … = mln= m по условию задачи, так как величина X измеряется при одних и тех же условиях. Тогда в квадратных скобках будет n * m2, одно n сократится и в итоге получим:

M2 = m2/n

или
(1.37)

то-есть, средняя квадратическая ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.

Вычисление средней квадратической ошибки по уклонениям от арифметической середины. Формулу Гаусса (1.27) применяют лишь в теоретических выкладках и при исследованиях приборов и методов измерений, когда известно истинное значение измеряемой величины. На практике оно, как правило, неизвестно, и оценку точности выполняют по уклонениям от арифметической середины.

Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

l1, l2 , …, ln .

Вычислим арифметическую середину X0 = [1]/n и образуем разности:
Начальные сведения из теории ошибок (1.38)

Сложим все разности и получим [l] – n * X0 = [V]. По определению арифметической середины n * X0 = [l], поэтому:

[V] = 0. (1.39)

Величины V называют вероятнейшими ошибками измерений; именно по их значениям и вычисляют на практике среднюю квадратическую ошибку одного измерения, используя для этого формулу Бесселя:
(1.40)

Приведем вывод этой формулы. Образуем разности случайных истинных ошибок измерений Δ и вероятнейших ошибок V:
Начальные сведения из теории ошибок (1.41)

Разность (X0 – X) равна истинной ошибке арифметической середины; обозначим ее Δ0 и перепишем уравнения (1.41):
Начальные сведения из теории ошибок (1.42)
Возведем все уравнения (1.42) в квадрат, сложим их и получим:
.

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю по свойству (1.39), следовательно,
.

Разделим это уравнение на n и учтя, что [Δ2]/n =m2, получим:
(1.43)

Заменим истинную ошибку арифметической середины Δ0 ее средней квадратической ошибкой ; такая замена практически не изменит правой части формулы (1.43). Итак,

,
откуда ;

после перенесения (n-1) в правую часть и извлечения квадратного корня получается формула Бесселя (1.40).

Для вычисления средней квадратической ошибки арифметической середины на основании (1.37) получается формула:
(1.44)

Веса измерений. Измерения бывают равноточные и неравноточные. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом, и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол можно измерить разным количеством приемов; результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что средние квадратические ошибки неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения – это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия; вес обозначается буквой p. Значение веса измерения получают по формуле:

p = C/m2 (1.45)

где C – в общем случае произвольное положительное число.

При неравноточных измерениях одной величины наиболее надежное ее значение получают по формуле средневесовой арифметической середины:
(1.46)
или X0 = [l*p] / [p] .

Ошибку измерения, вес которого равен 1, называют средней квадратической ошибкой единицы веса; она обозначается буквой m. Из формулы (1.45) получаем

откуда (1.47)

то-есть, за число C принимают квадрат ошибки единицы веса.

Подсчитаем вес P средневесовой арифметической середины. По определению веса имеем:
(1.48)

Согласно (1.46) и (1.32) напишем:

Подставим сюда вместо mli2 их выражения через вес m2 = C/p , тогда:

Подставим это выражение в формулу (1.48) и получим,

P = [p], (1.49)

то-есть, вес средневесовой арифметической середины равен сумме весов отдельных измерений.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице, формула (1.49) принимает вид:

P = n. (1.50)

При обработке больших групп измерений (при уравнивании геодезических построений по МНК) вычисляются значение ошибки единицы веса, веса измерений и других элементов после уравнивания, а ошибка любого уравненного элемента подсчитывается по формуле:
(1.51)

где pi – вес i-того элемента.

Человеку свойственно ошибаться. Это касается не только общих вопросов и знаний жизни. Но и распространяется на любые сферы его деятельности, в том числе в области геодезии. В ней все проводимые измерения выполняются с ошибками. Значительная часть работ в геодезическом производстве основывается на измерениях. А измерения — своего рода сравнение с какой-то эталонной или истинной величиной. Если понимать, что истинного значения в идеале не существует, то все сравнения в измерениях сводятся к сравнению с конкретно полученным значением и принятому, как верное. Одним из наиболее приближенных к истинному значению, считается среднее арифметическое.

Понятие погрешности, её абсолютная и относительная величины

Если переходить на понятие погрешности, то отклонение отдельного замера от среднего арифметического из выполненных измерений и считается абсолютной его ошибкой. Числовая форма погрешности не дает представления о качестве произведенного измерения. Для этого существует понятие относительной погрешности. Под ним понимают отношение значения собственно ошибки к замеренной величине. Применяется этот параметр в определении точности работ при линейных замерах в полигонометрических и теодолитных ходах.

В нивелирных ходах для его оценки точности существует так называемая приведенная погрешность. Это тоже своего рода относительный показатель. Только он подразумевает под собой отношение абсолютного значения ошибки к конкретному принятому значению определяемой величины (для нивелировок на 1 км хода).

Погрешности по источникам возникновения

При производстве геодезических работ после окончания каждой выполненной операции в полевых условиях можно говорить об ошибках. Присутствуют они и при проведении камеральных работ. Так при установке приборов в рабочее положение возникают отклонения в центрировании инструмента над центром знака. Также возникают неточности при выставлении прибора в отвесное состояние, когда выводим его цилиндрический уровень в верхнее горизонтальное положение и круглый уровень на середину. Следующими причинами возникновения погрешностей считаются визирование и снятие отсчетов в момент исполнения наблюдений. Влияние внешних условий окружающей среды: рефракция воздуха, дымка, туман, осадки, формирует еще одну группу ошибок. Помимо человеческого фактора и влияния внешней среды существуют конструктивные особенности приборов, с заложенными в них вероятностными составляющими точности измерений. Еще одной из причин возникновения погрешностей считается несовершенство методик их определений. Резюмируя выше сказанное, можно выделить следующий перечень ошибок по источникам их возникновения:

инструментальные;
индивидуальные;
из-за условий окружающей среды;
методические.

Погрешности по характеру действий

По данному признаку все ошибки можно разделить на следующие отклонения:

грубые, то есть значительно превышающие ожидаемые ошибки, возникающие в результате просчетов, неверных действий и обнаруженные при дополнительном контроле;
систематические отклонения, отличающиеся постоянством возникновения и закономерностями изменений при повторных операциях; к ним можно отнести периодические и функциональные погрешности;
случайные, значения величин, которых не значительны, большая часть их мала, чем велика, встречаются как с положительными, так и с отрицательными значениями, в каждом конкретном случае они возникают отдельно случайным образом и в своей массе подчинены определенным вероятностным закономерностям;

Именно изучение случайных погрешностей в геодезии дает возможность производить оценки точности и получать наиболее надежные результаты.

Предельные и допустимые отклонения

При определенных факторах случайные ошибки по абсолютному значению своей величины не могут превышать определенного предела. Этот предел в геодезической и маркшейдерской практике имеет название предельной погрешности.

В строительном производстве нормативными документами введен термин предельного отклонения, который может иметь как положительное, так и отрицательное значения. Алгебраическая сумма этих параметров (предельных отклонений) имеет название допуска.

В геодезии крайние предельные значения отклонений, допускаемые нормативной документацией, называются допустимыми.

Средние, вероятные и средне квадратические погрешности

При различных оценках точности выполненных замеров применяются некоторые критерии случайных ошибок. К таким мерилам оценки относятся понятия:

средне арифметического отклонения от всех случайных ошибок, имеющее название среднего уклонения;
срединного отклонения, то есть находящегося в середине измеренного ряда по абсолютным значениям с учетом убывания и возрастания, именуемое вероятной ошибкой;
средне квадратическое отклонение (СКО) – это параметр функции дисперсии (рассеивания) случайных величин результатов измерений. Он равен математическому ожиданию (среднему арифметическому значению) квадратов отклонений в измерениях от математического ожидания (среднего арифметического значения) результатов замеров.

Случайные погрешности подчиняются нормальному закону распределения и находятся в интервале от нуля до трех СКО. Большинство из них в пределах шестидесяти восьми процентов находятся в интервале до одного СКО. Девяносто пять процентов случайных величин попадает в интервал от нуля до двух СКО. Девяносто девять процентов случайных ошибок находится в интервале от нуля до трех СКО.

На основании этого в теоретических расчетах при предварительных оценках точности выполнения работ за предельные принимаются три средне квадратические ошибки. При геодезических и маркшейдерских работах на практике к расчетам принимаются двойные величины средне квадратических отклонений.

Источник

УДК 528.11

ОЦЕНКА СЛУЧАЙНЫХ И НЕИСКЛЮЧЕННЫХ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ В ОСНОВНЫХ МЕТОДАХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Шуршилин1 Е.А., Олехнович2 Я.А.

‘ФГАОУ ВО «Санкт-петербургский политехнический университет Петра Великого», Санкт-Петербург,

ул. Политехническая, 29, e-mail: 1shurshilm.ea@edu.spbstu.ru; 2 olehnovich_yaa@spbstu.ru

Аннотация: любые инженерные изыскания в области строительства (геодезические, геологические, обследование зданий и сооружений и др.) не обходятся без полевых работ, которые в свою очередь не обходятся без полевых измерений и использования различных высокоточных приборов (теодолитов, нивелиров, тахеометров и т. д.). Их использование сопровождается появлением различных погрешностей измерений. Без понимания их природы, причин их возникновения и методов оценки этих погрешностей процесс строительства будет сопровождаться дополнительными рисками: от потери финансов до человеческих жертв. Цель данной работы проанализировать природу погрешностей геодезических измерений через призму теории вероятностей, опираясь на существующие государственные стандарты и нормы, и вывести общие математические закономерности, которым подчиняются погрешности измерений в основных геодезических методах определения координат точек. Опираясь на законы нормального распределения Гаусса и нормы расчёта погрешностей по ГОСТ Р 8.736-2011, в данной научной работе получены эти математические зависимости, выявлена их связь с практическими задачами геодезии. Вопрос оценки погрешностей в общем случае является решенным и имеется обширный объем научной литературы по теории погрешностей и методам их оценки. Задачей исследования является переход от общего к частному: пользуясь основными законами теории погрешностей определить погрешности геодезической съёмки различными методами закрепления координат точек в пространстве. Были проанализированы величины, измеряемые в основных методах геодезии: методе прямоугольных координат, угловых засечек и полярных координат. Полученные в работе зависимости могут найти применение в работах, требующих сверхвысокой точности измерений.

Материалы и методы: анализ научной литературы, математический анализ погрешностей геодезических измерений. Ключевые слова: геодезия, полевые работы, точность измерений, погрешность, погрешность измерений. Предмет исследования: погрешности геодезических измерений

Результаты: выведены математические зависимости для определения погрешностей геодезических съёмок различными методами

Выводы: математически подтверждено, что погрешности геодезических измерений зависят от условий конкретного измерений и измеряемых величин. Опираясь на законы теории вероятностей были получены математические зависимости, позволяющие точно оценить возникающие погрешности измерений.

ВВЕДЕНИЕ

Любые инженерные изыскания в области строительства (геодезические, геологические и др.) сопровождаются полевыми работами, связанными с изучением местности. Для их проведения используются различные приборы фиксации координат точек местности в локальных или общепринятых системах координат с целью составления планов и карт местности для проведения строительных работ. Одним из наиболее важных вопросов при съёмке местности является точность полевых измерений.

Вопрос оценки погрешностей в общем случае является решенным и имеется обширный объем научной литературы по теории погрешностей и методам их оценки. Задачей исследования является переход от общего к частному: пользуясь основными законами теории погрешностей определить погрешности геодезической съёмки различными методами закрепления координат точек в пространстве.

АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ

Общие вопросы теории погрешностей являются разрешенными, на эту тему опубликовано

множество научных работ. Тем не менее, вопросы, связанные с исследованием математических зависимостей погрешностей геодезических измерений, являются менее изученными с теоретической точки зрения. Существует пласт научных работ, посвященных повышению точности измерений с применением различных программных комплексов, однако малое количество статей исследуют конкретные математические

зависимости, описывающие поведение

погрешностей. Полезность изученных материалов для данной работы заключается в получении необходимого математического аппарата и общих представлений о геодезических методах.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Первый этап исследования предполагает описание общих положений теории вероятностей, математический аппарат которой будет использован для анализа погрешностей и изложение сути основных методов геодезических съёмок.

Второй этап исследования предполагает математический анализ приведённых методов геодезических съёмок, то есть определение величин, на которые возникают погрешности измерений, и

вывод конкретных математических зависимостей, которым эти погрешности

Оценка случайных погрешностей

В прошлых исследованиях авторов было доказано, что снятие координат точек на местности сопровождается появлением случайных погрешностей. Случайные погрешности — это погрешности, которые возникают при повторных измерениях одной и той же величины (например, физических констант), в т. ч. координат точек. В каждом их появлении не наблюдается какой-либо закономерности, правила. Случайные погрешности образуются в результате воздействия множества причин, которые невозможно учесть для каждого отдельного измерения или заранее определить. Для учета случайных погрешность существуют определенные законы, которые проявляются при многократных измерениях. [1] Случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения Гаусса и характеризуются следующими величинами:

1. Плотность вероятности случайной величины р:

, , ¿п .. ¿га

рух) =— = ]1Ш-

п — с!х 1-}шя-Дх ^

2. Среднее значение <х> измеряемой величины

х:

(2)

3. Дисперсия — квадрат среднего квадратичного отклонения от среднего значения ст:

(3)

(4)

В геодезии величина ст называется средней квадратичной ошибкой.

Нормальное распределение Гаусса является графиком зависимости плотности распределения от значения случайной величины р — р(х) (рис. 1):

Для расчёта погрешностей используется коэффициент Стьюдента зависящий от

доверительной вероятности а (для практических измерений используется значение а = 0,68) и числа измерений N и определяемый по таблицам Стьюдента. Погрешность измерения случайной величины определяется как:

¿-1

Аг(Лт-1)

Представленные выше зависимости и формулы являются в данном исследовании основным расчетным аппаратом определения погрешностей геодезических съемок.

Методы определения координат точек в пространстве

В геодезии используются три основных метода определения координат точек:

1. Метод прямоугольных координат. От стороны разбивочной сети АВ отмеряют перпендикуляр от искомой точки С до разбивочной сети (отрезок СН на рис. 2) и расстояние АН на прямой АВ. Таким же образом закрепляют все необходимые точки местности относительно разбивочной сети.

Рис. 2. Метод прямоугольных координат.

Fig. 2. Rectangular coordinates method.

2. Метод полярных координат. Сторону AB принимают за полярную ось, точку A — за начало координат. Чтобы определить положение точки C, измеряют расстояние AC и угол ф между прямыми AB и AC (рис. 3)

3. Метод угловых засечек. Относительно стороны АВ разбивочной сети измеряют углы между прямыми АС и АВ (угол а на рис. 4) и ВС и АВ (угол в на рис. 4). Метод угловых засечек применяется в случае, когда искомая точка С находится вне досягаемости (на неприступном расстоянии).

Рис. 3. Метод полярных координат. Fig. 3. Polar coordinates method.

Рис. 4. Метод угловых засечек. Fig. 4. Method of angular serifs.

Анализ погрешностей методов определения координат точек в пространстве

Каждый из трех описанных выше методов определения координат основывается на использовании различных геодезических приборов (теодолиты, тахеометры, рулетки), что приводит к возникновению погрешностей измерений, природа которых случайна. Поэтому на практике производят два измерения: для угловых измерений по кругу лево (КЛ) и по кругу право (КП), для измерений длин — в прямую и обратную сторону. Потому можно принять, что в полевых работах число измерений N = 2. Соответственно, принимая доверительную вероятность а = 0,68, постоянной величиной для всех измерений является и коэффициент Стьюдента и принимает значение tаN = 1,82. Из этого следует, что допустимая погрешность на измерение в полевых условиях всякой координаты х может быть определена из выражения (5) как:

Так как измерений всего два, то х принимает всего два значения: хг и х2, следовательно среднее значение координаты х принимает вид:

<*} = ■

(7)

Подставим выражение (7) в выражение (6) и получим итоговое выражение для погрешности полевых

измерений:

Практический смысл модуля разности двух измерений координаты заключается в том, что эта величина заявляется в характеристиках прибора как максимально допустимое расхождение между двумя измерениями. При полевых измерениях эту величину принимают за допустимую погрешность, однако, как показало полученное выражение (8), необходимо принимать величину на 9% меньшую, чем заявленное максимально допустимое расхождение. Отметим, что коэффициент 0,91 в выражении (8) является следствием решения этой задачи при конкретно заданном значении доверительной вероятности (и соответственно коэффициента Стьюдента) в общем случае, исходя из выражений (6), (7) и (8) можно сказать, что полученный коэффициент является случаем множества значений некоего коэффициента, характеризующего отношение реальной погрешности к заявленной допустимой разности показаний прибора. Назовём этот коэффициент коэффициентом расхождения прибора 0 и будем определять как

Q _ tgN 2 .

Влияние погрешности измерения двух

координат на погрешности друг друга

Каждый из трех методов определения координат точки на местности предполагает измерение двух величин:

— В методе прямоугольных координат измеряются координаты точки (x; y) ;

— В методе полярных координат — расстояние r от полюса до точки и угол р между этим отрезком и полярной осью;

— В методе угловых засечек — углы а и ß.

Очевидно, что погрешность измерения одной из этих величин непосредственно влияет на погрешность измерения другой. Это взаимное влияние погрешностей друг на друга по ГОСТ Р 8.736-2011 называется неисключенной систематической погрешностью (далее — НСП). Будем обозначать НСП измерения величины x вследствие влияния погрешности измерения величины y как ^хНСп. Тогда, принимая, что НСП вызвана лишь одним фактором, то по ГОСТ Р 8.7362011 её можно определять как:

(9),

Где Ах и Ау — случайные погрешности на измерение координат x и у.

дх

— — частная производная функции x, зависящей

ду

от у, по координате у.

Тогда общая допустимая погрешность измерений будет определена как:

AXj. = 4- Дх^

■нсп

(10)

Неисключенная систематическая погрешность в методе прямоугольных координат

В методе прямоугольных координат координаты x и у имеют одинаковую размерность длины, потому могут быть определены одним прибором. Тогда, можно утверждать, что в случае, когда разница двух измерений координат равна максимально допустимой (обозначим её как 5), то случайные погрешности измерения координат, согласно выражению (8), примут вид:

д*= ÛV =0.915

(11)

Тогда выражение для НСП на координату x примет вид:

(12)

дх

Очевидно, что частная производная — в данном

ду

случае равна котангенсу угла наклона к оси х прямой, проведенной из начала координат в искомую точку (поскольку зависимость между x и у линейная). Так как метод прямоугольных координат препдолагает определение только координат точки, то, чтобы не требовать определения угла наклона с помощью другого измерительного прибора, что повлечет за собой дополнительные погрешности, выразим котангенс угла через отношение х и у:

Поскольку расхождение 5 как правило много меньше усредненных значений координат, то в соотношении (12) им можно пренебречь. Тогда выражение (11) примет вид:

(14)

Из выражения (13) следует, что в методе прямоугольных координат максимальная НСП отличается от максимальной случайной

(

погрешности в

1 +

раз.

Тогда выражение (10) для общей погрешности примет вид:

(15)

Выражение (15) представляет собой выражение максимально допустимой погрешности на координату х в методе прямоугольных координат (в случае, когда расхождение двух измерений координат равно максимально допустимому).

По аналогичным соображениям максимально допустимая погрешность на координату у:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(16)

Неисключенная систематическая погрешность в методе полярных координат

Метод полярных координат является более сложным для анализа с точки зрения НСП, так как предполагает измерение величин разных размерностей (угла и расстояния). Пусть 5 -максимально допустимое расхождение между измерениями прибора, используемого для определения расстояния г; у — максимально допустимое расхождение между измерениями прибора, используемого для определения угла ф. Положим, что расхождения между двумя измерениями угла и расстояния равны максимально допустимым расхождениям приборов. Тогда случайные погрешности этих величин:

Дг = 0L9L5

(17)

Предположим, что для оценки НСП в методе полярных координат не обойтись без дополнительного измерения. Необходимо знать проекцию а отрезка г на полярную ось. При этом на измерение проекции а также возникает случайная погрешность. Однако поскольку а имеет размерность длины и может быть определено тем же прибором, что и расстояние г, то эту погрешность можно приравнять к ^г:

Заметим, что погрешность на измерения угла ф, как и сам угол ф, необходимо измерять не в градусах, а в радианах для согласования размерностей НСП.

Т. к. на расстояние г влияет две величины, то, по ГОСТ Р 8.736-2011, НСП после математических преобразований для неё принимает вид:

дгнсп = ±

Дг

дг

— ХДф дф

дг Л — хДа да

ДгнсП =±0,91

г =-;

еоБф дг _ а х sin ф дф cos2 ф i . да cos ф’ Да = Дт; ‘ „ а х sin ф

8 +-т^-ху-

cos ф

cosф

(20)

Вернемся теперь к использованной замене а = г cos ф, поскольку при полевых работах погрешности измерения всех величин значительно меньше их самих, то примем, что для средних значений величин выполняется то же самое отношение, а само значение проекции a совпадает со средним (также ввиду малости погрешностей в сравнении с измеряемыми величинами). Тогда:

а = (я) = {г} cos (р)

(21)

Подставим выражение (21) в выражение (20) и от истинных значений перейдем к усредненным значениям определенных величин и получим:

г =±0,91(8(1 + sec (ф)) + ( г)х tg фху) (22)

Подставляя выражение (22) в выражение (10), получим:

(18) Дг = ±0,9182 + (8 (1 + sec (ф)) + { ^х tg ф х у)2 (23)

Выражение (23) является максимально допустимым значением полной погрешности измерения расстояния до искомой точки в методе полярных координат. Отметим, что полученное выражение позволяет на практике не измерять проекцию а. Эта величина становится мысленным конструктом после учета влияния её погрешности на полевые измерения в общем виде.

Да = Дг = 0,91t5

(19)

Из тех же соображений определим НСП на определение угла ср:

(24)

Используя те же соображения о близости истинных значений искомых величин к средним, преобразуем выражение (24):

(25)

Подставляя (25) в (10), получим:

(26)

Выражение (26) является выражением максимально допустимой погрешности измерений угла ф в методе полярных координат.

Неисключенная систематическая погрешность в методе угловых засечек

Проанализируем теперь возникающие НСП в методе угловых засечек. Поскольку в данном методе измеряются только углы, то положим также, что расхождения между значениями углов а и в по кругу лево и кругу право достигают максимально допустимого расхождения у для используемого прибора:

Рассмотрим теперь модель метода угловых засечек: треугольник ABC c основанием AB, которая является стороной разбивочной сети, углы а и в были определены с помощью прибора с допустимым расхождением значений по КЛ и КП у. Третий угол треугольника ABC обозначим у. (рис.

Рис. 5. Модель метода угловых засечек. Fig. 5. Method of angular serifs.

Положим, что угол у в идеальных условиях все-таки можно определить с помощью прибора. Тогда погрешность его измерения также, как и погрешности двух других углов, равна:

Ау = 0,91щ;

Установим зависимости углов друг от друга: а = п- (ф + у);

Р = ж- (а + у);

Из тех же соображений получим, что НСП для

угла (3 имеет такое же выражение:

Используя выражение (29) и (10), получим выражение для максимально допустимой погрешности на определение углов в методе угловых засечек:

(30)

Тогда НСП на определение угла а:

(

аансп = ±

да . _ — хАф дф

|Аа| +

а = ж- (ф + у);

да . — хАУ ду

ВЫВОДЫ

да _ j. да

ду

= -1;

В ходе исследования было математически установлено, что заявленная производителем погрешность прибора, в сущности, является лишь компонентой (или компонентами, если приборов несколько) реально возникающей погрешности измерения.

Было установлено, что в общем случае погрешность результатов измерения полевых величин находится в зависимости не только от заявленной приборной погрешности, но и конкретных численных значений измеряемых величин. В табл. 1 представлены основные полученные зависимости.

Табл. 1. Основные математические зависимости для определения допустимых погрешностей в основных

методах полевых измерений Table 1. Basic mathematical dependencies for determining permissible errors in the main methods of field

measurements

Аадсп = ±0,91(щ + щ + щ) = ±0,91х 3щ (28)

Метод Определяемые величины Выражение для погрешности

Прямоугольные координаты Координата х +0,915. 1 + (1+Х.) 1 W J 2

Координата у +0,915 V 1 + (1+М 1 (*> j 2

Полярные координаты Расстояние г ±0,91^5 2 +( 5 (1 + sec( р)) + ( х tg Wx щ)2

Угол ф ±0,91. щ2 + щ+V)( ctg {ф) + cosec Л2 J

Угловые засечки Угол а ±0,9Ь/10щ = ±2,88щ

Угол в ±0,91>/10щ = ±2,88щ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шуршилин Е.А., Олехнович Я.А. Геоинформационные системы в строительстве и анализ точности измерений // Строительство и техногенная безопасность. — № 23(75). — 2021. -С. 49-58.

2. Физика. Практическая обработка экспериментальных данных: метод. указания / сост.: Б.Д. Агапьев, В.В. Козловский. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2013. — 61 с.

3. Инженерная геодезия. Использование современного оборудования для решения геодезических задач: учеб. Пособие / Е.Б. Михаленко [и др.]; под науч. ред. Е. Б. Михаленко. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014. -98 с.

4. Инженерная геодезия. Разбивочные работы: Учеб. пособие / О.С. Царёва, Т.И. Иванова, Е.А. Перминов, Н.Д. Беляев. — СПб., 2021, 62 с.

5. Инженерная геодезия. Геодезические сети и их развитие: учеб, пособие / Е. Б. Михаленко [и др.]; под науч. ред. Е. Б. Михаленко. — СПб.; Изд-во Политехи, ун-та, 2016. — 79 с.

6. Сурина А.В. Теория вероятностей: Основные формулы: Учеб. пособие. СПб., 2022 -56с.

7. Метрология. Обработка результатов измерений. Учебное пособие / Кошелев С.И. — СПб.: Изд-во СПбПУ, 2017. — 57а

8. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / В. Е. Гмурман. — М.: Издательство «Юрайт», 2022. -479 с.

9. Пособие по геодезическому обеспечению строительства / Е. Р. Аболин [и др.]. — СПб., 2006. -240 с.

10. Геодезия: учебник для вузов / Е.Б. Клюшин [и др.]; под ред. Д. Ш. Михелева. 12-е изд. — М.: Изд. центр «Академия», 2014. — 495 с.

11. Зимин С.С., Мартынов М.В. Численное моделирование полевого эксперимента по усилению грунтов стройной цементацией // Инженерные исследования. — №2(7). — 2022. — С. 310.

REFERENCES

1. Shurshilin E.A., Olekhnovich Ya.A. Geoinformation systems in construction and analysis of measurement accuracy // Construction and technogenic safety. — № 23(75). — 2021. — C. 49-58.

2. Physics. Practical processing of experimental data: method. indications / comp. : B. D. Agap’ev, V. V. Kozlovsky. — SPb. : Izd-vo Polytechn. un-ta, 2013. -61 p.

3. Engineering geodesy. The use of modern equipment for solving geodetic problems: studies. Posobie / E. B. Mikhalenko [et al.]; under nauch. ed. E.

B. Mikhalenko. — SPb.: Izd-vo Politekhn. un-ta, 2014. -98 p.

4. Engineering geodesy. Layout works: Ucheb. posobie / O. S. Tsareva, T. I. Ivanova, E. A. Perminov, N. D. Belyaev. — SPb., 2021, 62 p.

5. Engineering geodesy. Geodetic networks and their development: ucheb, posobie / E. B. Mikhalenko [et al.]; under nauch. ed. E. B. Mikhalenko. — SPb.; Polytech Publishing House, University, 2016. — 79 p.

6. Surina A. V. Teoriya probability: Basic formulas: Ucheb. allowance. — SPb., 2022. -56 p.

7. Metrology. Processing of measurement results. Tutorial. / Koshelev S. I. — SPb.: Izd-vo SPbPU, 2017, 57c.

8. Gmurman, V.E. Probability Theory and Mathematical Statistics: A Textbook for Universities / V.E. Gmurman. — Moscow: Yurait Publishing House, 2022. — 479 p.

9. Manual on geodetic support of construction / E. R. Abolin [et al.]. — SPb., 2006. — 240 p.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

10. Geodesy: a textbook for universities / E.B. Klyushin [et al.]; ed. D. Sh. Mikheleva. 12th ed. — M.: Izd. Center «Academy», 2014. — 495 p.

11. Zimin S.S., Martynov M.V. Numerical modeling of a field experiment to strengthen soils with slender cementation // Engineering research. — №2(7). — 2022. —

C. 3-10.

CrpoHTeflbCTBO HTexH0reHHaa6e30nacH0CTbN°26(78) -2022

ESTIMATION OF RANDOM AND NON-EXCLUDED SYSTEMATIC ERRORS IN BASIC METHODS OF GEODETIC MEASUREMENTS

Shurshilin1 E. A., Olekhnovich2 Ya. A.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Polytechnic Street, 29, e-mail: 1shurshilin.ea@edu.spbstu.ru; 2 olehnovich_yaa@spbstu.ru

Abstract: any engineering surveys in the field of construction (geodetic, geological, survey of buildings and structures, etc.) cannot do without field work, which in turn cannot do without field measurements and the use of various high-precision instruments (theodolites, levelers, total stations, etc.). Their use is accompanied by the appearance of various measurement errors. Without understanding their nature, the causes of their occurrence and methods for assessing these errors, the process of assessing these errors construction will be accompanied by additional risks: from loss of finances to human casualties. The purpose of this work is to analyze the nature of the errors of geodetic measurements through the prism of probability theory, relying on existing state standards and norms, and to derive general mathematical laws that are subject to measurement errors in the main geodetic methods for determining the coordinates of points. Based on the laws of the normal Gaussian distribution and the norms for calculating errors according to GOST R 8.736-2011, these mathematical dependencies are obtained in this scientific work, their connection with the practical problems of geodesy is revealed. The issue of estimating errors is generally resolved and there is an extensive body of scientific literature on the theory of errors and methods for their evaluation. The task of the study is the transition from the general to the particular: using the basic laws of the theory of errors, to determine the errors of geodetic surveying by various methods of fixing the coordinates of points in space. The values measured in the main methods of geodesy were analyzed: the method of rectangular coordinates, angular serifs and polar coordinates. The dependencies obtained in the work can be used in works that require ultra-high accuracy of measurements.

Materials and methods: analysis of scientific literature, mathematical analysis of errors of geodetic measurements. Subject of research: errors of geodetic measurements

Results: mathematical dependencies for determining the errors of geodetic surveys by various methods are derived Conclusions: it is mathematically confirmed that the errors of geodetic measurements depend on the conditions of a particular measurement and the measured quantities. Based on the laws of probability theory, mathematical dependencies were obtained that allow to accurately estimate the resulting measurement errors.

Key words: geodesy, field work, accuracy of measurements, error, measurement error.

Источник

На чтение 9 мин Просмотров 1.7к. Опубликовано 03.10.2021

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Начальные сведения из теории ошибок

Свойства случайных ошибок. Случайные ошибки подчиняются некоторым закономерностям:

где: ;
n – количество измерений одной величины.

Начальные сведения из теории ошибок

F = f( X, Y, Z … ), (1.28)

здесь: X, Y, Z … – истинные значения аргументов,
F – истинное значение функции.

где ΔX, ΔY, ΔZ – случайные истинные ошибки измерения аргументов.

Разность является случайной истинной ошибкой функции с противоположным знаком, поэтому:
(1.31)

F = x * y * z,

то для нее можно записать выражение относительной ошибки функции:
(1.33)

которое в некоторых случаях оказывается более удобным, чем формула (1.32).

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:
(1.35)

Величина (1.36)

M2 = m2/n

или
(1.37)

Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

l1, l2 , …, ln .

Вычислим арифметическую середину X0 = [1]/n и образуем разности:
Начальные сведения из теории ошибок (1.38)

Сложим все разности и получим [l] – n * X0 = [V]. По определению арифметической середины n * X0 = [l], поэтому:

[V] = 0. (1.39)

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю по свойству (1.39), следовательно,
.

Разделим это уравнение на n и учтя, что [Δ2]/n =m2, получим:
(1.43)

,
откуда ;

после перенесения (n-1) в правую часть и извлечения квадратного корня получается формула Бесселя (1.40).

p = C/m2 (1.45)

где C – в общем случае произвольное положительное число.

то-есть, за число C принимают квадрат ошибки единицы веса.

Подсчитаем вес P средневесовой арифметической середины. По определению веса имеем:
(1.48)

P = [p], (1.49)

то-есть, вес средневесовой арифметической середины равен сумме весов отдельных измерений.

P = n. (1.50)

где pi – вес i-того элемента.

Источник

6. Критерии оценки точности.

7. Методы построения геодезических сетей.

Понятие погрешности, её абсолютная и относительная величины

Погрешности по источникам возникновения

Погрешности по характеру действий

Предельные и допустимые отклонения

Средние, вероятные и средне квадратические погрешности

Возможно, вам также будет интересно: