Возможны ошибки при пересечении граней тела построения

Содержание:

Взаимное пересечение поверхностей:

При пересечении поверхностей образуется линия, которую принято называть линией взаимного пересечения поверхностей. Эта линия пересечения принадлежит одновременно двум поверхностям. Поэтому построение линии пересечения сводится к определению точек одновременно принадлежащих обеим поверхностям. Для нахождения таких точек используется в общем случае метод вспомогательных секущих поверхностей. Сущность способа заключается в следующем: Пусть задано две поверхности

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

1. Введем вспомогательную поверхность Ф.
2. Строим линии пересечения поверхности Ф с поверхностями
3. Определяем точки пересечения К и М, простроенных линий a и b
4. Многократно повторяя эту операцию, найдем ряд точек, принадлежащих одновременно двум поверхностям.
5. Соединяем последовательно точки с учетом видимости.

В качестве посредников могут быть приняты как поверхности, так и плоскости, но целесообразно выбирать такие, которые дают наиболее простые линии пересечения с заданными поверхностями.

Взаимное пересечение поверхностей

Линия, общая для двух пересекающихся поверхностей — линия пересечения.

Чтобы определить проекцию линии пересечения, необходимо найти проекции точек, общих для этих поверхностей. Их находят способом вспомогательных секущих плоскостей или вспомогательных сфер.

Если рёбра призмы или ось вращения цилиндра перпендикулярны какой-либо из плоскостей проекций, то на этой плоскости проекций линия пересечения совпадает с контуром основания призмы или цилиндра.

Пересечение двух многогранников

Для построения линии пересечения двух многогранников необходимо определить точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, затем ребер второго с гранями первого. Полученные точки соединить отрезками прямой с учетом видимости. На рисунке 9.2 заданы поверхности трехгранной призмы DEFD’E’F’ и трехгранной пирамиды SABC. Так как призма F, фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с гранями призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию. Для этого определяем точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы. Ребро SC пересекает грани призмы в точках I и 2, ребро SB — в точках 3 и 4, ребро SA не пересекает призму. Затем определяем точки пересечения ребер призмы с гранями пирамиды.

По чертежу видим, что только ребро DD’ пресекает поверхность пирамиды. Для определения точек пересечения 5 и б через ребро DD’ проводим горизонтальную плоскость, которая пересекает пирамиду по треугольнику. Точки 5 и 6 получаем, как пересечение DD’ с построенным треугольником.

Полученные точки соединяем с учетом видимости. Видимой считается тот отрезок прямой, который принадлежит двум видимым граням поверхностей.

Как видим, линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную ломаную линию.

В том случае, когда обе гранные поверхности общего положения, последовательность соединения точек вызывает затруднение. Поэтому для соединения точек используется диаграмма Ананова — условные развертки поверхностей (см. учебник).

Пересечение гранной и кривой поверхности

Линия пересечения гранной и кривой поверхности, представляет собой пространственную кривую линию, с точками излома на ребрах многогранника.

Поэтому сначала определяем точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью, а затем промежуточные точки и соединяем их с учетом видимости. На рисунке 9.3 заданы поверхности трехгранной призмы и кругового конуса.

Так как призма фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию линии пересечения.

Сначала определяем точки пересечения ребер призмы с поверхностью конуса, а затем находим промежуточные точки, принадлежащие линиям пересечения. Для нахождения точек пересечения, используем горизонтальные плоскости посредники, так как они пересекают конус по окружностям, а призму но прямым линиям. Как видим, в данном случае линия пересечения распадается на две отдельные части.  

Пересечение двух кривых поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Линия пересечения двух кривых поверхностей, представляет пространственную кривую линию. Поэтому для ее построения необходимо определить ряд точек принадлежащих этой лини.

На рисунке 9.4 заданы поверхности конуса и сферы. Точки строятся при помощи горизонтальных плоскостей посредников, которые рассекают обе поверхности но окружностям.

Обязательно находим опорные точки, к которым относятся высшая и низшая точки линии пересечения и точки границы видимости. Так как оси поверхностей лежат в одной фронтальной плоскости, контурные образующие поверхностей пересекаются в точках 1 и 2 — это и будет высшая и низшая точки. Точки границы видимости лежат на экваторе сферы, поэтому точки 3 и 3′ находим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости, проходящей через центр сферы. Она рассекает сферу по экватору, а конус но параллели радиуса R.

Взаимно пересекаясь, они и дают точки 3 и 3′ фронтальную проекцию определяем по вертикальной линии связи на плоскости Затем берем еще две вспомогательные плоскости расположенные выше и ниже плоскости и выполняя, аналогичные построения определяем точки 4 и 5 и 5′. Полученные точки соединяем с учетом видимости.  

• Заказать чертежи

Пересечение поверхностей вращении. Метод вспомогательных секущих сфер

Способ вспомогательных секущих сфер применяется при следующих условиях:

1. Пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения.
2. Оси этих поверхностей пересекаются.
3. Оси поверхностей параллельны одной из плоскостей проекций.

Перед рассмотрением этого способа разберем понятие соосных поверхностей. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Соосные поверхности пересекаются по окружностям перпендикулярным оси вращения.

На рисунке 9.5 приведены некоторые из них.

Именно то, что поверхности пересекаются по окружностям, которые проецируются в линии и используется в методе сфер.

Рассмотрим пример на рисунок 9.6. Даны поверхности вращения — конус и цилиндр. Так как оси лежат в одной плоскости, можно определить точки пересечения контурных образующих в точках 1 и 2, как в предыдущем примере.

Однако, для нахождения промежуточных точек, вспомогательные секущие плоскости не подходят, т.к. горизонтальные плоскости рассекут цилиндр по эллипсам, фронтально-нроецирующие — конус по эллипсам. А сам эллипс строить непросто. Поэтому именно в этом случае удобно использовать в качестве посредников — сферы. За центр вспомогательных сфер, принимается точка пересечения осей заданных поверхностей. Далее необходимо определить, размеры радиусов вспомогательных секущих сфер. Максимальный радиус сферы

В данном случае минимальная сфера вписана в конус. Минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности, а цилиндр пересекает по окружности. Нужно, иметь ввиду, что проекции окружностей пересечения перпендикулярны осям вращения. Эти две окружности пересекаются в точке . Фактически таких точек две, они совпадают на фронтальной проекции. Для построения промежуточных точек берем вспомогательные сферы радиусов в пределах от

Они пересекают и поверхность цилиндра, и поверхность конуса по окружностям, которые пересекаясь даюг промежуточные точки. Полученные точки соединяются плавной линией.

Здесь построена только фронтальная проекция. Для построения горизонтальной проекции, если это необходимо, точки строят как лежащие на окружностях полученных радиусов.  

Теорема Монжа

Рассмотрим вариант, когда минимальная сфера касается двух поверхностей вращения. В этом случае для построения линии пересечения поверхностей используется теорема Г. Монжа, которая формулируется так:

Если две поверхности вращении второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линии их пересечении распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходит через прямую, соединяющую точки пересечении линий касании.

В соответствии с этой теоремой линии пересечения конуса и цилиндра описанного около сферы (рисунок 9.7) будут плоскими кривыми -эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми проходящими через — точки линий пересечения окружностей касания.

Пересечение поверхностей вращения с многогранниками

Внешние и внутренние формы большинства предметов образуются сочетанием нескольких поверхностей. Пересекаясь между собой, они образуют линии, которые принято называть линиями перехода.

На рис. 9.1 изображена деталь с несколькими линиями перехода. Линия 1 является границей между плоской и торовой поверхностями, 2 — торовой и конической, 3 — конической и плоскими (гранями призмы), 4 и 5 — торовой поверхностью корпуса и цилиндрическими поверхностями патрубков.

Рисунок 9.1 – Корпус с линиями перехода

Линия пересечения многогранника с телом вращения в общем случае состоит из отдельных участков кривых линий, получающихся при пересечении граней многогранника с поверхностью вращения. Точки перехода от одного участка к другому находятся в пересечении ребер многогранника с телом вращения и называются точками излома. Участок линии пересечения может быть и прямой линией в случае пересечения линейчатой поверхности вращения гранью многогранника по образующей.

При проницании (полном пересечении) получаются две замкнутые линии пересечения. Они могут быть плоскими (поверхность вращения проницает одну грань) или пространственными, состоящими из нескольких плоских кривых с точками излома в местах пересечения поверхности вращения ребрами многогранника.

При врезании (неполном пересечении) получается одна замкнутая пространственная линия.

Таким образом, в соответствии с указанным выше, задачи данной темы решаются по следующему плану:

• Определяются точки излома линии пересечения, являющиеся точками пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения;
• Находятся точки принадлежащие линиям пересечения отдельных граней многогранника с телом вращения. При этом сначала следует найти характерные (опорные) точки кривых. Это точки, проекции которых отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой, это проекции наивысших и наинизших точек линии пересечения, ближайших и наиболее удаленных, крайних слева и справа на проекциях линии пересечения;
• Определение видимости линии пересечения поверхностей и их очерков. Видимость проекций участков линии пересечения определяется из условия расположения их на видимой стороне каждой поверхности.

При построении точек линии пересечения многогранников с телами вращения используют вспомогательные секущие плоскости. Их располагают так, чтобы они пересекали данные поверхности по простым для построения линиям (прямым или окружностям).

Рассмотрим линии пересечения поверхности прямой трехгранной призмы с поверхностью конуса вращения. Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями, а ось конуса перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.

Призму можно рассматривать, как три плоскости, проходящие через ее грани, а задача сводится к нахождению линий пересечения этих плоскостей с конусом.

Рисунок 9.2 — Пересечение трехгранной призмы с конусом

Пример. Построить линию пересечения поверхности тора с поверх-ностью трехгранной призмы (рис. 9.3).

Решение. Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями и фронтальная проекция линии пересечения совпадают с проекцией боковой поверхности призмы. Из фронтальной проекции видно, что в данном случае имеет место проницание тора призмой (две замкнутые линии пересечения).

На рис. 9.3 рассмотрен пример пересечения поверхностей тора и треугольной призмы [2].

По двум заданным проекциям строим третью – профильную.

Рисунок 9.3 – Построение линии пересечения трехгранной призмы с тором

Заданная призма – горизонтально-проецирующая. Так как грани призматического отверстия перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, то на чертеже известна горизонтальная проекция линии пересечения, она совпадает с вырожденной проекцией поверхности призмы.

Следовательно, линия пересечения совпадает с горизонтальной проекцией основания призмы.

Определяем характерные точки: самую близкую точку 1 фронтальной плоскостью и самые далекие – и 3 фронтальной плоскостью S ().

Определяем промежуточные точки 4 и 5 при помощи вспомогательных фронтальных плоскостей .

Соединяем полученные точки плавной кривой линией с учетом видимости.

Пересечение поверхностей вращения

Линия пересечения двух поверхностей вращения в общем случае представляет пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми и даже прямыми линиями.

Линию пересечения поверхностей обычно строят по ее отдельным точкам. Точки подразделяются на характерные (опорные) и промежуточные (случайные).

Общим способом построения этих точек является способ вспомогательных секущих поверхностей – посредников. При пересечении данных поверхностей вспомогательной поверхностью определяются линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников применяются плоскости или сферы.

Для определения линии пересечения часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей.

Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности.

Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода — метод секущих плоскостей и метод секущих сфер.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

В качестве вспомогательных секущих плоскостей чаще всего используют плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.

Положение их выбирают таким, чтобы они пересекали заданные поверхности по простейшим линиям – прямым или окружностям.

Этот способ рекомендуется применять, если сечениями заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями. Такая возможность существует в трех случаях:

1. Если образующие (окружности) расположены в общих плоскостях уровня;
2. Если в общих плоскостях уровня оказываются прямолинейные образующие линейчатой поверхности и окружности циклической;
3. Линейчатые каркасы заданных поверхностей принадлежат общим плоскостям уровня или пучкам плоскостей общего положения.

Пересечение цилиндрической и торовой поверхности

Если одна из поверхностей является цилиндрической проецирующей поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, так как в этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с окружностью – проекцией цилиндра на перпендикулярную плоскость проекций.

На рис. 9.4 построена линия перехода между цилиндром и тором. Так как поверхность цилиндра перпендикулярна плоскости Н, то горизонтальная проекция линии перехода известна. Она совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальную и профильную проекции строим по принадлежности точек линии перехода не проецирующей поверхности тора.

Рисунок 9.4 — Построение линии пересечения цилиндра с тором

Линия пересечения заданных поверхностей представляет собой пространственную кривую линию, имеющую фронтальную плоскость симметрии, образованную пересекающимися поверхностями цилиндра и тора.

Рассмотрим линию пересечения поверхности сферы с поверхностью конуса вращения (Рисунок 9.5).

Точки 1 и 7, расположенные на очерках фронтальных проекций конуса и сферы, очевидны и определяются без дополнительных построений.

Точка 4 на экваторе сферы построена с помощью горизонтальной плоскости, пересекающей конус по окружности. В пересечении горизонтальных проекций этой окружности и экватора находится горизонтальная проекция 4′ точки 4 и фронтальная 4» проекции точки 4 определим с помощью линии связи. Точка 4 на горизонтальной проекции разделяет кривую на видимую и невидимую части.

Точки 2, 3, 5 и 6, расположенные в промежутке между характерными точками 1,4 и 7 строим аналогично. С помощью линий связи определим фронтальные и горизонтальные проекции этих точек.

Рисунок 9.5 — Построение линии пересечения конуса и сферы

Особые случаи пересечения

Пересечение соосных поверхностей вращения

Соосными называют поверхности вращения, оси которых совпадают. Линия пересечения таких поверхностей строится на основании теоремы о пересечении соосных поверхностей вращения: соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружностям.

Если ось вращения соосных поверхностей перпендикулярна к какой либо плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде окружности, а на другую плоскость проекций – в прямую линию.

75

На рис. 9.6 даны примеры пересечения соосных поверхностей вращения (ось вращения параллельна горизонтальной плоскости). На рис. 9.6, а приведены сфера и конус, б – сфера и цилиндр, в – сфера и тор.

Рисунок 9.6 — Пересечение соосных поверхностей вращения

Теорема Монжа для пересекающихся поверхностей вращения

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Для этого случая пересечения поверхностей вращения необходимо выполнение трех условий:

• пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
• оси поверхностей должны пересекаться;
• плоскость, образованная осями поверхностей, должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Рисунок 9.7 — Пересечение поверхностей вращения по теореме Монжа

Это положение подтверждается теоремой Монжа: Если две поверхности второго порядка могут быть вписаны или описаны около третьей поверхности второго порядка, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка распадается на две плоские кривые второго порядка.

Способ вспомогательных секущих сфер

При построении линии пересечения поверхностей вращения не всегда удается подобрать секущие плоскости так, чтобы они пересекали поверхности по линиям, проекции которых были бы прямыми или окружностями. В некоторых таких случаях в качестве секущих поверхностей (посредников) целесообразно применять сферы. Этот способ основан на свойстве сферы пересекаться с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы по окружности.

Чтобы сфера одновременно пересекала две поверхности по окружностям, проецирующимся в прямые линии, необходимо выполнить условия:

• Оси поверхностей вращения должны пересекаться (точку пересечения принимают за центр вспомогательных концентрических сфер).
• Оси поверхностей вращения должны располагаться параллельно какой-либо плоскости проекций.

Пример. Построить проекции линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра (рис. 9.8) [1].

Заданы прямой усеченный конус и наклонный цилиндр – тела вращения. Их оси параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точке О(о′,о), т.е. соблюдены условия метода сфер.

Как и в предыдущих задачах, найдем проекции характерных точек. Точка 1 – самая высокая, точка 2 – самая низкая. Чтобы убедится в этом проведем через оси тел вспомогательную фронтальную плоскость . Эта плоскость рассекает рассматриваемые тела по крайним очерковым образующим, которые на фронтальную плоскость проекции проецируются без искажения и, пересекаясь между собой, образуют искомые точки 1′, 2′. С помощью вспомогательных сфер найдем другие точки линии пересечения заданных поверхностей. Для определения радиуса наименьшей сферы из центра О(о′) проведем две нормали, перпендикулярные очерковым образующим этих тел и большей нормалью выполним эту сферу. Эта сфера будет наименьшей , проведенной в большем теле, поэтому поверхности конуса она касается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка m′′n′′, а поверхность наклонного цилиндра пересекает по окружности, фронтальная проекция которой также проецируется в прямую линию k′′l′′. В пересечении k′′l′′ и m′′n′′ получим точку 3′′ – самую глубокую точку пересечения. Для нахождения промежуточных точек проведем ряд концентрических сфер, радиусы которых должны находится в пределе , и аналогично точке 3′′ находим необходимые промежуточные точки.

Рисунок 9.8 — Построение линии пересечения конуса и цилиндра

Учитывая, что сфера минимального радиуса всегда касается той поверхности, которая пронизывается другой, соединим найденные фронтальные проекции плавной кривой. Получим фронтальную проекцию линии пересечения. В нашем случае сфера радиусом касается поверхности конуса, значит, поверхность цилиндра пронизывает поверхность конуса.

Построим горизонтальную проекцию линии пересечения. Т.к. точки 1′′, 2′′ лежат на очерковой образующей конуса, то горизонтальные проекции этих точек находятся на оси конуса, т.е. на горизонтальной проекции этой образующей. Для нахождения горизонтальных проекций точек 3′, 4′, 5′ воспользуемся горизонтальными плоскостями , проведенными через эти точки соответственно. Каждая плоскость рассекает поверхность конуса по окружности, которая на горизонтальной плоскости проекций не искажается. По линиям связи найдем горизонтальные проекции точек 3′, 4′, 5′.

Для правильного соединения точек определим их видимость. Границей видимости на плоскости Н является точка 4′′, лежащая на осевой фронтальной проекции цилиндра. Горизонтальные проекции ее находятся на очерковых образующих цилиндра. Соединив плавной кривой найденные точки, получим горизонтальную проекцию линии пересечения рассматриваемых тел.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Суть способа — вспомогательная секущая плоскость одновременно пересекает поверхности каждого тела и образует фигуры сечения, контуры которых пересекаются. Точки пересечения контуров соединяют.

Этот способ применим тогда, когда контуры отдельных сечений представляют прямые линии или окружности.

Точки являются очевидными — это точки пересечения очерковых и оснований конусов. Найдём соответствующие вторые проекции этих точек.

Проведём горизонтальную плоскость которая рассечет оба конуса. В сечении конусов будут окружности причем их фронтальными проекциями являются прямые. Построим горизонтальные проекции этих сечений — окружности радиусом

На пересечении этих окружностей сечений на  определим горизонтальную проекцию общей точки — Фронтальную проекцию точек 2 и 2 определим по линиям связи на секущей плоскости

Проведём еще ряд горизонтальных секущих плоскостей и определим проекции других промежуточных точек линии пересечения, которые соединим лекальной кривой с учётом видимости.

При взаимном пересечении конуса и цилиндра (рисунок 1) ось вращения цилиндра перпендикулярна . Значит, на линия пересечения совпадет с контуром основания цилиндра, т.е. фронтальной проекцией линии пересечения будет являться фронтальная проекция цилиндра.

Построив горизонтальную проекцию линии пересечения, на на пересечении горизонтальной оси симметрии цилиндра с проекцией цилиндра наметим точки — точки границы видимости линии пересечения, лежащие на экваторе цилиндра.

На точки линии пересечения, лежащие выше экватора будут видимы, а точки, лежащие ниже экватора — невидимы.

Способ вспомогательных сфер

Этот метод можно применять при соблюдении следующих условий :

• пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
• их оси должны пересекаться ; точка пересечения осей является центром вспомогательных сфер;
• их оси должны быть // какой-либо плоскости проекций.

Сфера проходит через самую дальнюю очевидную точку.

Сфера , должна касаться образующей большего тела, а меньшее тело -пересекать.

Сфера определяется как большее расстояние от центра сфер до образующих обоих тел — перпендикуляры из центра сфер к очерковым образующим. Больший перпендикуляр и будет являться радиусом минимальной сферы.

Сфера пересекает тела по окружностям, проецирующимся на одну из плоскостей проекций отрезком.

1.    Определяем очевидные точки

2.    Восстанавливаем перпендикуляры из центра сфер к очерковым образующим цилиндра и конуса. Перпендикуляр к цилиндру больше, чем перпендикуляр к образующей конуса. Значит, и будет являться радиусом минимальной сферы. На проводим из центра этим радиусом R окружность, которая рассечет и конус и цилиндр по окружностям, фронтальной проекцией которых будут прямые — сечение конусаи сечение цилиндра

На пересечении этих сечений определяем фронтальную проекцию точки 3 — .

3.    На строим горизонтальную проекцию сечения конуса, на котором находится точка 3 -окружность радиусом / 2, на которой по линии связи определяем точки

1.    Проводим ещё ряд секущих сфер радиусом больше минимальной и меньше максимальной и определяем другие промежуточные точки линии пересечения, которые соединяем лекальной кривой с учётом видимости.

Большее тело поглощает меньшее.

2.    Видимость линии пересечения определяем следующим образом:

Элементы технического рисования

Технический рисунок — это наглядное изображение, выполненное по правилам аксонометрических проекций от руки, на глаз, соблюдая пропорции. Им пользуются на производстве для иллюстрации чертежей.

Обычно технический рисунок выполняется в изометрии.

Выполнение рисунка модели или детали начинается с проведения аксонометрических осей. Затем рисуется основание и строятся габаритные очертания -прямоугольные параллелепипеды. Деталь мысленно расчленяют на отдельные геометрические элементы, постепенно вырисовывая все элементы.

Технические рисунки получаются более наглядными, если их покрыть штрихами. При нанесении штрихов считают, что лучи света падают на предмет справа и сверху или слева и сверху.

Взаимное пересечение поверхностей с примерами

Алгоритм решения задач по определению линии пересечения поверхностей Ф’ и Ф» (рис. 9.1) в целом аналогичен решению второй позиционной задачи и состоит в следующем:

1. Обе заданные поверхности Ф’ и Ф» рассекают третьей, вспомогательной плоскостью или поверхностью P.
2. Определяют линии пересечения каждой заданной поверхности со вспомогательной: Ф’ × P =l’, Ф» × P =l».
3. Определяют точки пересечения полученных линий l’×l» = A и A’. Точки A и a´ принадлежат обеим поверхностям.
4. Проведя несколько вспомогательных поверхностей, находят достаточное количество точек и соединяют их плавной лекальной кривой, которая и является искомой линией пересечения поверхностей.
5. Определяют видимость поверхностей и линии их пересечения.

Рис. 9.1. Пересечение поверхностей

В качестве вспомогательных поверхностей P следует выбирать поверхности — плоскости или сферы, которые пересекают обе заданные поверхности по наиболее простым для построения линиям — прямым или окружностям. Кроме того, если в сечении поверхности получаются окружности, они должны проецироваться на одну из плоскостей проекций без искажения.

Определение точек линии пересечения поверхностей начинают с построения так называемых опорных точек. К ним относятся:

• точки пересечения очерковых образующих, если образующие лежат в одной плоскости,
• точки, лежащие на очерковых образующих поверхностей,
• точки, лежащие в общей плоскости симметрии,
• экстремальные (верхние — нижние, правые — левые) по отношению к плоскостям проекций, к центру концентрических сфер.

При соединении точек следует иметь ввиду, что проекции линии пересечения не могут выходить за пределы общей площади — площади наложения — проекций пересекающихся поверхностей. Видимыми будут те участки линии пересечения, которые принадлежат видимым частям обеих поверхностей.

Способ вспомогательных параллельных плоскостей

Этот способ заключается в том, что обе поверхности рассекаются параллельными плоскостями уровня. Этот способ применяют лишь в тех случаях, когда вспомогательные плоскости рассекают поверхности по простым линиям — прямым или окружностям, которые проецируются на соответствующую плоскость проекций без искажения.

Рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового конуса и сферы (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Линия пересечения поверхностей прямого кругового конуса и сферы

Фронтальные плоскости уровня пересекают поверхность конуса по гиперболам, следовательно, для решения данной задачи нужно применить горизонтальные плоскости уровня, которые рассекают обе данные поверхности по окружностям.

Решение задачи начинают с построения опорных точек. Конус и сфера имеют общую плоскость симметрии γ(γ₁), параллельную плоскости П₂. Поэтому высшая точка A и низшая точка F линии пересечения получаются как результат пересечения очерковых образующих конуса и сферы (рис. 9.3).

Остальные точки определяются с помощью горизонтальных плоскостей уровня. Более подробно разберем построение точек E и E'(рис. 9.4).

1.    Пересечь обе поверхности вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня α(а₂). Плоскость а(а₂) пересекает сферу по окружности m(m₁,m₂), а конус — по окружности q(q₁,q₂):
m(m₁ ,m ₂)=Ф ^сф а (а₂);
q(q₁ ,q₂) =Ф^к а (u₂).
 

2.    Построив горизонтальные проекции окружностей m и q, определить точки их пересечения E и E’:
E₁= m₁ × q₁; E₂=E₁E₂α2.
E’₁=m₁ × q₁; E’₂=E_lE₂α2.

Рис. 9.3. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

3.    Аналогичным образом определяются остальные точки, формирующие линию пересечения (рис. 9.5,а). Они получены с помощью горизонтальных плоскостей уровня β(β₂), δ(δ₂) и μ(μ₂). Пределы этих плоскостей по высоте определяют высшая и низшая опорные точки линии пересечения поверхностей. Плоскость μ(μ₂)рассекает поверхность сферы по очерковой образующей b (b₂, b₂),поэтому полученные точки В и В’ являются опорными, ограничивающими линию пересечения поверхностей по ширине.

4.    Последовательно соединить одноименные проекции полученных точек плавной лекальной кривой. Полученная линия не должна выходить за пределы области перекрытия проекций данных поверхностей.

5.    Определить видимость линии пересечения поверхностей и их очерковых образующих.

Поверхность конуса на горизонтальной плоскости проекций полностью видима, следовательно, видимость линии пересечения определяется по поверхности сферы. Видима будет та часть сферы, которая на П₂ лежит выше очерковой образующей b₂.Точки В и В’ на очерковой образующей сферы являются точками смены видимости линии пересечения на плоскости проекций П₁.
Искомая линия пересечения поверхностей конуса и сферы d(d₁,d₂) (кривая второго порядка), полученная способом вспомогательных секущих плоскостей, приведена на рис 9.5,б.

Рис. 9.4. Определение промежуточных точек линии пересечения поверхностей:
а — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Рис. 9.5. Определение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных параллельных плоскостей:
а — определение промежуточных точек;
б — искомая линия пересечения

Способ вспомогательных сфер

При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных сфер возможны два случая. В одном из них используются сферы, проведенные из одного, общего центра (концентрические), а в другом -сферы, проведенные из разных центров (эксцентрические).

Способ концентрических сфер

Этот способ применяется для построения линии пересечения поверхностей вращения произвольного вида, при условии, что оси этих поверхностей пересекаются.

В основу способа концентрических сфер положено свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности.

Если центр сферы находится на оси любой поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получатся окружности (рис. 9.6).

Рис.    9.6. Соосные поверхности вращения:
a- наглядное изображение;
б — на комплексном чертеже

Рассмотрим способ концентрических сфер на примере построения линии пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых i(i₁,i₂) и q(q₁,q₂) пересекаются и точка пересечения осей обозначена через O (O₁ ,O₂)(рис. 9.7).

Рис. 9.7. Линия пересечения поверхностей цилиндра и прямого кругового конуса

Точка пересечения осей поверхностей принимается за центр вспомогательных концентрических сфер.

Алгоритм решения задачи об определении линии пересечения поверхностей состоит в следующем:

1.    Определить опорные точки (рис. 9.8). Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии δ(δ₁), параллельную плоскости проекций П₂, то их очерковые образующие, по отношению к плоскости П₂,пересекаются. Точки A(A₁,A₂), B(B₁,B₂), C(C₁,C₂) и D(D₁,D₂) пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей.

2.    Определить радиусы максимальной и минимальной сфер, необходимых для определения точек линии пересечения.

Радиус максимальной сферы R_max равен расстоянию от центра вспомогательных сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае Rmax=O₂A₂ (рис. 9.9).

Чтобы определить радиус минимальной сферы R_min, необходимо провести через точку O₂ нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет R_min. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей, а со второй — пересекаться.

В данном случае сферой минимального радиуса является сфера, касающаяся цилиндрической поверхности (см. рис. 9.9).

Сфера радиусом R_min касается цилиндрической поверхности по окружности m, которая на фронтальной проекции изображается в виде прямой m₂, перпендикулярной q₂(m₂q₂). Эта же сфера пересекает коническую поверхность по двум окружностям. Но, в данном случае, нам интересна только окружность n, так как только она дает решение. Эта окружность n изображается на фронтальной проекции в виде прямой n₂, перпендикулярной i₂(n2i₂). Точки E и Fпересечения этих окружностей будут принадлежать обеим поверхностям:

m₂×n₂ =E₂, F₂.

Чтобы построить горизонтальные проекции точек Е и F следует воспользоваться окружностью n, содержащей данные точки, так как она не искажается на плоскости проекций П₁:

E₁ ,F ₁∈ n₁.

Рис. 108. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

Рис. 9.9. Определение радиусов максимальной и минимальной сфер.

Для построения промежуточных точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке O, причем радиус R этих сфер должен изменяться в пределах R_min< R < R_max.

Рассмотрим определение точек линии пересечения на примере сферы радиусом R1 (R_min1max) (рис. 9.10, 9.11).

Рис. 9.10. Определение промежуточных точек линии пересечения поверхностей

Сфера радиусом R₁ пересекает цилиндрическую поверхность по окружности l, которая на фронтальной проекции изображается в виде прямой l₂, перпендикулярной q₂( 1₂q₂). Эта же сфера пересекает коническую поверхность по окружности k, которая изображается на фронтальной проекции в виде прямой k₂, перпендикулярной i₂(k₂i₂). Точки G и Hпересечения этих окружностей будут точками искомой линии пересечения:

1₂×k₂=G₂, H₂.

Чтобы построить горизонтальные проекции точек G и H, следует воспользоваться окружностью k, содержащей данные точки, так как она не искажается на плоскости проекций Π₁: G₁∈ k ₁.

4.    Аналогичным образом определить все остальные точки искомой линии пересечения. Последовательно соединить полученные точки плавной лекальной кривой. В данном случае линия пересечения поверхностей цилиндра и конуса представляет собой две кривые второго порядка u(u₁,u₂) и u( u’₁ ,u ₂) (рис. 9.12).

Горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей симметрична относительно плоскости δ(δ₁) — общей плоскости симметрии данных поверхностей. Эта плоскость была указана ранее (см. рис. 9.8).

Рис. 9.11. Определение промежуточных точек линии пересечения поверхностей

5.    Определить видимость линии пересечения поверхностей и их очерковых образующих. На фронтальной плоскости проекций видимы будут те точки линии пересечения, которые лежат перед горизонтальной проекцией очерковых образующих, проекции которых совпадают с плоскостью симметрии δ(δ₁), — точки A, M, G, E, D и B, K, P, C. На горизонтальной плоскости проекций линия u(u₁,u₂) видима, так как все ее точки лежат выше фронтальной проекции оси вращения цилиндра q(q₂), а линия u(u₁ ,u₂)будет невидима, поскольку все ее точки лежат ниже фронтальной проекции образующих, совпадающих с проекцией оси вращения цилиндра q(q₂).

Рис. 9.12. Линия пересечения поверхностей цилиндра и конуса

Пересечение поверхностей

Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечения

Линия пересечения принадлежит обеим пересекающимся поверхностям и образуется множеством их общих точек. Следовательно, построение линии пересечения поверхностей сводится к построению этих общих точек.

При пересечении поверхностей вращения порядок линии пересечения определяется умножением порядков пересекающихся поверхностей. Например, если пересекаются круговой конус (поверхность 2-го порядка) и сфера (поверхность 2-го порядка), то линия пересечения является кривой 4-го порядка.

Определение способа построения линии пересечения зависит от взаимного расположения пересекающихся поверхностей, а также от их расположения относительно плоскостей проекций. Из всех возможных вариантов пересечения поверхностей геометрических тел в зависимости от их взаимного расположения можно выделить четыре случая, которые позволяют определить и представить форму линии пересечения поверхностей:

I случай. Частичное врезание (рис. 8.1). В этом случае линией пересечения является одна замкнутая пространственная линия.

II случай. Полное проницание (рис. 8.2). В этом случае линией пересечения являются две замкнутые пространственные линии.

III случай. Одностороннее соприкосновение (рис. 8.3). В этом случае поверхности соприкасаются в одной общей точке K₁ и линия их пересечения, проходя через эту точку, распадается на две замкнутые пространственные линии (поверхности имеют одну общую касательную плоскость).

IV случай. Двойное соприкосновение (рис. 8.4).

В этом случае поверхности имеют две точки соприкосновения K₁ и K₂ и линия их пересечения распадается на две плоские кривые в соответствии с теоремой 2 (С. А. Фролов «Начертательная геометрия» [23]): «Если две поверхности вращения второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую m, соединяющую точки касания» (поверхности имеют две общие касательные плоскости).

В зависимости от расположения пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций и участия в пересечении геометрических тел, имеющих проецирующую поверхность (как призма или цилиндр) или не имеющих проецирующей поверхности (пирамида, конус, шар, тор, тороид, наклонная призма или наклонный цилиндр, глобоид и др.), следует выбрать оптимальный способ построения проекций линии пересечения поверхностей на чертеже.

По этим признакам способы построения линий пересечения поверхностей можно объединить в две группы:

Первая группа: частные случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения не требуется применения специальных способов, а используется частное положение пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций.

Вторая группа: общие случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения требуется применить специальные способы посредников.

Частные случаи пересечения поверхностей

K первой группе частных случаев пересечения поверхностей относятся следующих четыре случая:

1-й случай: пересечение геометрических тел, боковые поверхности которых являются проецирующими, то есть, перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

2-й случай: пересечение геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность является проецирующей.

3-й случай: пересечение соосных поверхностей вращения, т. е. имеющих общую ось вращения.

4-й случай: пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Рассмотрим на примерах построение проекций линий пересечения поверхностей геометрических тел в четырех частных случаях первой группы.

Следует отметить, что перечисленные частные случаи пересечения поверхностей наиболее часто встречаются при формообразовании различных реальных деталей.

1-й частный случай

На рис. 8.5 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей горизонтально-проецирующего цилиндра и фронтально-проецирующей прямой правильной треугольной призмы, то есть пересекаются два геометрических тела, боковые поверхности которых занимают относительно плоскостей проекций проецирующее положение.

Характерный признак 1-го частного случая: на заданных проекциях тел определяются две проекции искомой линии пересечения:

– фронтальная проекция (л»п») линии пересечения 1″-2″-3″-4″ совпадает с вырожденной в ломаную линию боковой поверхностью призмы;

– горизонтальная проекция (л’п’) линии пересечения 1′-2′-3′-4′ совпадает с участком окружности, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требуется достроить только профильную проекцию (л’»п»‘) линии пересечения, построив профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности одному из тел (в данной задаче – цилиндру), и соединить их плавной кривой с учетом ее видимости на поверхностях.

2-й частный случай

На рис. 8.6 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса и фронтально-проецирующего цилиндра, то есть пересекающихся геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность проецирующая.

Характерный признак 2-го частного случая: на заданных проекциях тел определяется одна проекция линии пересечения:

– фронтальная проекция (л»п») линии пересечения 1″-2″-3″-4″ совпадает с окружностью, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требуется достроить горизонтальную (л’п’) и профильную (л»‘п»‘) проекции линии пересечения, построив горизонтальные и профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности конусу, и соединить построенные на проекциях точки плавными кривыми линиями с учетом их видимости на поверхностях.

!!! На профильную проекцию предмета пространственная кривая линия пересечения 4-го порядка проецируется в виде участка гиперболы.

3-й частный случай

Пересечение соосных геометрических тел. Соосными называются геометрические тела вращения, имеющие общую ось вращения «i». Поверхности соосных тел пересекаются по окружностям, перпендикулярным их общей оси. Если общая ось «i» соосных геометрических тел является прямой проецирующей (т. е. она перпендикулярна какой-либо одной плоскости проекций, а двум другим параллельна), то окружность пересечения проецируется дважды в прямую линию, перпендикулярную их общей оси, на те плоскости проекций, которым эта общая ось параллельна.

На рис. 8.7 показан пример построения линии пересечения соосных геометрических тел – конуса и горизонтально-проецирующего цилиндра, имеющих общую горизонтально-проецирующую ось i (ось перпендикулярна H и параллельна V и W). Линией пересечения является окружность, фронтальная (л»п») и профильная (л»‘п»‘) проекции которой представляют собой прямые линии, перпендикулярные их общей оси i и проходящие через точки пересечения фронтальных и профильных очерков поверхностей. Горизонтальная проекция этой окружности пересечения л’п’) совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией боковой поверхности цилиндра.

На рис. 8.8 показан пример построения линий пересечения двух пар соосных поверхностей:

– поверхности шара и горизонтально-проецирующего цилиндра, соосных относительно горизонтально-проецирующей оси i₁, окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и профильную проекции;

– поверхности шара и сквозного профильно-проецирующего цилиндрического отверстия Ц_отв в шаре, соосных относительно профильно-проецирующей оси i₂, окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и горизонтальную проекции.

4-й частный случай

Пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Напоминаем, к поверхностям вращения второго порядка относятся круговые цилиндр и конус, шар, эллипсоиды, параболоид и одно-, двуполостные гиперболоиды.

Эллиптические цилиндры и конусы, а также наклонный круговой конус – это не поверхности вращения!

Все торы (открытый, закрытый и самопересекающийся), глобоиды и тороиды относятся к поверхностям вращения четвертого порядка!

В 4-м частном случае имеет место двойное соприкосновение пересекающихся поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы, и построение линии пересечения основано на теореме 2 (С. А. Фролов «Начертательная геометрия» [23]):

Теорема 3, известная как теорема Г. Монжа, вытекает из теоремы 2: «Если две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания».

Практическое применение теоремы возможно в том случае, когда две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг сферы или вписаны в нее.

Использовать теорему Г. Монжа для построения на чертеже линии пересечения поверхностей можно при наличии в задаче четырех обязательных графических условий:

1. Пересекаются поверхности вращения второго порядка.
2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться (точка пересечения – центр вписанной сферы).
3. Поверхности описаны вокруг общей сферы или вписаны в нее.
4. Общая плоскость симметрии, проходящая через оси поверхностей, является плоскостью уровня.

При соблюдении этих четырех условий на одной из заданных проекций можно построить проекции двух плоских кривых, на которые распадается искомая линия пересечения:

• – плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий на ту проекцию предмета, которая расположена на плоскости проекций, параллельной общей плоскости симметрии поверхностей;
• – точки пересечения очерков поверхностей на этой проекции принадлежат искомой линии пересечения и через эти точки проходят прямые, в которые проецируются плоские кривые пресечения;
• – прямые, как проекции плоских кривых, пересекаются в точке, с которой совпадают проекции двух точек K₁≡K₂ соприкосновения поверхностей и соответственно проекция прямой m(m’, m»), соединяющей эти точки соприкосновения (точки касания).

!!! Точки касания (соприкосновения) поверхностей K₁(K₁«) и K₂(K₂«) определяются на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей.

На рис. 8.9 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей вращения второго порядка – прямого кругового конуса и наклонного кругового цилиндра, описанных вокруг общей сферы. Для решения задачи использована теорема Г. Монжа, поскольку здесь соблюдены все четыре обязательных условия ее применения:

1. Пересекаются прямой круговой конус и круговой наклонный цилиндр, т. е. поверхности вращения второго порядка.
2. Оси конуса и цилиндра пересекаются в точке O(O»).
3. Обе поверхности описаны вокруг общей для них сферы с центром точке O(O»).
4. Общая плоскость симметрии поверхностей α(α_H) является фронтальной плоскостью уровня (//V).

Построение проекций линии пересечения поверхностей по теореме Г. Монжа выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Определить проекцию предмета, на которую плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий: в данной задаче это фронтальная проекция, так как общая плоскость симметрии α(α_Н) параллельна фронтальной плоскости проекций V.

2-е действие. Построить фронтальные совпадающие проекции K₁≡K₂ точек соприкосновения заданных поверхностей, лежащих на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей (прямые линии – проекций этих окружностей касания – строятся как линии пересечения соосных поверхностей, так как вписанная сфера образует две пары соосных поверхностей – конус/сфера с общей осью i₁ и цилиндр/сфера с общей осью i₂. На чертеже проекции этих окружностей касания проходят через точки, полученные на пересечении перпендикуляров, проведенных из точки О(О») – центра вписанной сферы – к образующим конуса (окружность касания 1) и цилиндра (окружность касания 2).

3-е действие. Отметить на фронтальной проекции точки A(A»), B(B»), C(C») и D(D») пересечения очерков поверхностей и построить фронтальные проекции плоских кривых пересечения 2-го порядка, соединив прямыми линиями A-B(A»-B») и C-D(C»-D») противоположные точки пересечения очерков (обе прямые обязательно должны пройти через построенные проекции точек соприкосновения поверхностей K₁≡K₂ (K»₁≡K»₂);

4-е действие. Построить горизонтальные проекции двух плоских кривых пересечения – эллипсов, по горизонтальным проекциях обозначенных точек A, B, C, D, K₁ и K₂, построенных по принадлежности поверхности конуса; обозначить и построить точки E(E’) и F(F’), которые лежат на очерковых образующих горизонтальной проекции цилиндра и определяют границу видимости кривых на горизонтальной проекции предмета, а также отметить и построить необходимое количество промежуточных точек (здесь не обозначены).

5-е действие. Оформить фронтальный и горизонтальный очерки пресекающихся поверхностей.

!!! Построение точек соприкосновения K₁≡K₂ поверхностей особенно важно в задачах, где по условию нельзя определить одну из четырех точек пересечения очерков поверхностей. Совпадающие проекции точек соприкосновения в этом случае определят направление одной из двух прямых линий – проекций плоских кривых пересечения (рис. 8.10). В данном случае проекция плоской кривой линии пересечения CE проведена через точки C и K₁≡K₂. Точка E определяется на основании конуса.

На рис. 8.11 показаны примеры построения линий пересечения поверхностей второго порядка, описанных вокруг сферы, с применением теоремы Г. Монжа. Они часто встречаются при конструировании различных переходов цилиндрических и конических труб, или пересечений отверстий в деталях.

Общие случаи пересечения поверхностей и способы построения линий пересечения поверхностей

Ко второй рассматриваемой группе относятся общие случаи пересечения геометрических тел, боковые поверхности которых могут занимать относительно плоскостей проекций непроецирующее положение (это наклонные призмы и цилиндры), а также геометрические тела, поверхности которых непроецирующие – это конус, сфера, торы, глобоид, эллипсоид, параболоид и гиперболоиды. Сюда же относятся наклонный эллиптический цилиндр, имеющий круговые сечения, и наклонный круговой конус.

Для построения линий пересечения поверхностей в этом случае применяются специальные способы вспомогательных посредников – плоскостей уровня или поверхностей (сфер, цилиндров, конусов), из которых мы рассматриваем следующие:

1. способ вспомогательных секущих плоскостей уровня;
2. способ вспомогательных концентрических сфер;
3. способ вспомогательных эксцентрических сфер.

Применение одного из указанных способов для построения линий пересечения поверхностей геометрических тел возможно при наличии некоторых обязательных графических условий расположения геометрических тел относительно плоскостей проекций и зависит от того, какие именно геометрические тела пересекаются в конкретной задаче.

Линия пересечения поверхностей является общей для обеих поверхностей и образуется множеством общих точек, которые строятся с помощью вспомогательных посредников.

Предварительно требуется выполнить графический анализ условия задачи для выбора рационального способа ее решения, определить проекцию предмета, на которой следует начинать решение задачи, и границы введения посредников.

Для построения проекций точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, способом посредников следует применять общий для всех рассматриваемых способов графический алгоритм.

Графический алгоритм I:

1-е действие. Ввести вспомогательную плоскость или поверхность-посредник.

2-е действие. Построить вспомогательные линии пересечения плоскости – или поверхности-посредника с каждой из заданных поверхностей.

3-е действие. Определить точки пересечения построенных вспомогательных линий пересечения – эти точки принадлежат искомой линии пересечения.

Рассмотрим на примерах применение различных способов вспомогательных посредников для построения проекций линий пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей уровня

Применение способа вспомогательных секущих плоскостей рационально при наличии двух графических условий:

1. Общая плоскость симметрии пересекающихся геометрических тел является плоскостью уровня; при соблюдении этого условия точки пересечения очерков поверхностей принадлежат искомой линии пересечения и определяют верхнюю и нижнюю границу введения плоскостей-посредников на соответствующей проекции предмета.

2. Сечениями геометрических тел в одной из плоскостей уровня должны быть простые в построении линии пересечения – прямые линии (образующие) или окружности; эту плоскость уровня и следует выбрать в качестве посредника.

На рис. 8.12 показан пример построения проекций линии пересечения прямого конуса и половины шара.

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета:

А. Выбираем для решения задачи способ вспомогательных секущих плоскостей, так как здесь соблюдены два графических условия его применения:

– общая плоскость симметрии β(β_Н) геометрических тел – конуса и полушара – является фронтальной плоскостью уровня (первое условие применения);

– горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают поверхности конуса и полушара по окружностям, выбираем в качестве вспомогательных плоскостей-посредников (второе условие применения).

Б. Решение задачи, то есть введение плоскостей-посредников, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии геометрических тел является фронтальной плоскостью уровня.

В. Определяем границы введения плоскостей-посредников – это точка А(А») пересечения фронтальных очерков и точки B(B’,B») пересечения окружностей оснований конуса и полушара, лежащие в горизонтальной плоскости уровня α(α_Vо).

Построить проекции точек искомой линии пересечения, выполнив действия предложенного графического алгоритма I:

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции предмета первую вспомогательную секущую горизонтальную плоскость-посредник α(α_V1) произвольно и ниже точки А(А»).

2-е действие. Построить на горизонтальной проекции предмета вспомогательные окружности радиусами R_к1 и R_ш1, по которым секущая плоскость-посредник α(α_V1) пересекает поверхности конуса и шара.

3-е действие. Определить на пересечении построенных вспомогательных окружностей горизонтальные проекции точек 1(1′), принадлежащих линии пересечения; фронтальные совпадающие проекции 1(1″) этих точек определяются по линии связи на фронтальной проекции плоскости-посредника α(α_V1).

3.1. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вторую плоскость-посредник α₂(α_V2), и построить проекции точек 2(2′,2″) и т. д.

Дополнительные действия:

4-е действие. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях: на фронтальную проекцию предмета пространственная кривая пересечения проецируется в видимую плоскую кривую второго порядка (участок параболы), поскольку горизонтальная проекция предмета имеет фронтальную симметрию; на горизонтальную проекцию предмета – в участок видимой кривой 4-го порядка сложной формы.

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости:

• – на фронтальной проекции – очерк конуса существует влево от точки А(А»), а очерк шара вправо от точки А(А») (несуществующие очерки конуса и шара оставить тонкими линиями);
• – на горизонтальной проекции – окружность основания конуса существует влево от точек В(B’), а окружность основания шара существует вправо от точек В(B’) (несуществующие части окружностей оснований конуса и шара оставить тонкими линиями).

!!! Способ вспомогательных секущих плоскостей позволяет строить одновременно две проекции искомой линии пересечения.

Способ вспомогательных концентрических сфер

Основанием для применения сферы в качестве вспомогательной поверхности-посредника являются две ее характерные особенности:

• – в сфере можно провести через ее центр бесконечное количество осей;
• – сфера может быть соосна любой поверхности вращения; соосные поверхности пересекаются по окружностям, проекции которых легко построить (см. рис. 8.7 и 8.8).

Сфера-посредник образует две пары соосных поверхностей с каждой из заданных поверхностей. Каждая образованная пара соосных поверхностей пересекается по соответствующим окружностям, которые проецируются в прямые, перпендикулярные общей оси каждой пары, и проходят через точки пересечения очерков каждой пары соосных поверхностей.

Применение способа вспомогательных концентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей возможно при наличии трех следующих графических условий:

1. Пересекаются поверхности вращения (кроме открытого и закрытого тора).
2. Общая плоскость симметрии пересекающихся поверхностей является плоскостью уровня; при этом условии точки пересечения очерков на проекции предмета, изображенного на параллельной общей плоскости симметрии плоскости проекций, принадлежат искомой линии пересечения.
3. Оси поверхностей пересекаются; точка пересечения осей является центром всех вспомогательных сфер.

На рис. 8.13 показан пример построения проекций линии пересечения усеченного конуса и тороида (самопересекающийся тор).

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей здесь применять не следует, так как ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности одновременно по окружностям (одно из условия применения).

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета.

А. Выбираем для решения задачи способ вспомогательных концентрических сфер, так как здесь соблюдены три графических условия его применения:

• – пересекаются поверхности вращения – прямой круговой конус и тороид  (самопересекающийся тор);
• – общая плоскость симметрии геометрических тел β(β_Н) является фронтальной плоскостью уровня;
• – оси поверхностей пересекаются в точке O(O») – центр всех вспомогательных сфер.

Б. Решение задачи, то есть введение вспомогательных сфер-посредников начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки A(A»), B(B»), C(C») и D(D») пересечения фронтальных очерков принадлежат линии пересечения.

В. Определяем границы введения сфер – это точки C(C») и D(D») пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел. Построить проекции точек линии пересечения, выполнив действия предложенного графического алгоритма I.

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции вспомогательную сферу-посредник минимального радиуса R_1min, с центром в точке O(O»), вписанную в тороид (минимальная сфера-посредник должна вписываться в одну из поверхностей, а с другой поверхностью – пересекаться).

2-е действие. Построить проекции вспомогательных окружностей пересечения двух пар соосных поверхностей, образованных сферой-посредником с каждой заданной поверхностью:

• – первая пара соосных поверхностей – сфера-посредник и тороид – имеют горизонтальную общую ось i₁» и пересекаются по окружности касания n₁«, которая проецируется в прямую линию (совпадает с осью конуса);
• – вторая пара соосных поверхностей – сфера-посредник и конус имеют вертикальную общую ось вращения i₂» и пересекаются по двум вспомогательным окружностям m₁«, которые проецируются в прямые линии;

3-е действие. Определить точки 1(1₁«) пересечения построенных проекций вспомогательных окружностей m₁» и n₁«, которые принадлежат искомым линиям пересечения (по две пары совпадающих точек).

!!! Здесь имеет место случай полного проницания (II случай), и линия пересечения распадается на две замкнутые кривые.

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вспомогательные сферы большего радиуса R₂ и R₃ с тем же центром в точке О(О»), и построить следующие пары точек 2(2″) и 3(3″).

4.1. Достроить горизонтальные проекции построенных точек линии пересечения по принадлежности параллелям конуса.

4.2. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях (только линия пересечения D’-3′-2′-1₁‘-C’ будет невидимой на горизонтальной проекции предмета).

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер

Наименование способа говорит о том, что вспомогательные сферы имеют разные центры, которые и нужно определять в процессе построения проекций линии пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей возможно применять при наличии трех следующих графических условий:

1. Пересекаются:

• – поверхности вращения 4-го порядка, т. е. торовые поверхности – открытый или закрытый тор;
• – поверхности эллиптических цилиндра и конуса, имеющие круговые сечения.

2. Общая плоскость симметрии поверхностей является плоскостью уровня.

3. Оси поверхностей пересекаются или скрещиваются.

Поскольку в этом способе центр каждой вспомогательной сферы нужно определять графическими построениями, первое действие графического алгоритма для построения проекций точек линии пересечения дополняется построением центра каждой вспомогательной сферы.

Порядок графических действий для построения линий пересечения способом вспомогательных эксцентрических сфер показан на двух примерах.

На рис. 8.14 показан пример построения проекции линии пересечения профильно-проецирующего цилиндра с поверхностью четвертой части открытого тора. Задача решается способом вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три необходимых условия для применения этого способа:

• – одна из пересекающихся поверхностей – открытый тор, имеющий круговые сечения во фронтально-проецирующих плоскостях, проходящих через его ось вращения i»_m;
• – общая плоскость симметрии поверхностей – фронтальная плоскость уровня (подразумевается), поэтому точка A(A») пересечения фронтальных очерков принадлежит искомой линии пересечения;
• – оси поверхностей i_ц и i_m скрещиваются.

Построение проекций точек линии пересечения поверхностей выполняется на заданной фронтальной проекции предмета по предлагаемому графическому алгоритму II.

Графический алгоритм II.

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительно следующие графические действия.

1.1. Задать произвольное круговое сечение поверхности тора фронтально-проецирующей плоскостью α_V1, проходящей через его ось i»_m; окружность t₁-t₂, (ее проекция – прямая линия t»₁-t»₂) – это заданная линия пересечения тора с искомой вспомогательной сферой, центр которой должен лежать на перпендикуляре к проекции этой окружности – прямой t»₁-t»₂ (хорда окружности, в которую проецируется вспомогательная сфера).

1.2. Провести к прямой t»₁-t»₂ через ее середину перпендикуляр k» и на его пересечении с осью цилиндра i»_ц определить центр первой вспомогательной сферы – точку O»₁.

1.3. Провести окружность – проекцию вспомогательной сферы-посредника – с центром в точке O»₁, радиус которой R_сф.1 определяется расстоянием от точки О»₁ до одной из крайних точек t»₁ или t»₂ прямой t»₁-t»₂.

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения построенной сферы-посредника с поверхностью соосного ей цилиндра – это прямая s»₁-s»₂, проходящая через точки s»₁ и s»₂ пересечения очерков цилиндра и сферы-посредника.

3-е действие. Определить на пересечении построенных проекций заданной окружности t»₁-t»₂ и построенной окружности s»₁-s»₂ совпадающие точки 1(1″), принадлежащие искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма и построить достаточное количество точек линии пересечения. В данном примере дополнительными сечениями вспомогательных плоскостей α_V2 и α_V3 и вспомогательными сферами R_сф.2 и R_сф.3 с центрами O₂ и O₃ построены точки 2 и 3, принадлежащие линии пересечения. Причем в плоскости α_V3 окружности сечений совпадают и совпадающие точки 3 делят существование этих окружностей на две половины – верхняя часть принадлежит цилиндру, а нижняя – тору.

5-е действие. Соединить на фронтальной проекции точки A»-1″-2″-3″ линии пересечения плавной видимой кривой.

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

На рис. 8.15 показан пример построения линии пересечения наклонного кругового цилиндра Ц₁ с осью i»₁ и наклонного эллиптического цилиндра с осью i»₂, у которого есть круговые сечения в горизонтальных плоскостях уровня.

Выполнить графический анализ условия и исключить нерациональный способ решения задачи.

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей применять не следует, так как на заданной фронтальной проекции ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности одновременно по окружностям или образующим (одно из условий применения).

Рассмотренный способ вспомогательных концентрических сфер применять нельзя, так как проведенные сферы с центром в точке пересечения осей образуют соосные пары только с одной заданной поверхностью Ц₁ (одно из условий применения).

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три условия его применения:

• – пересекаются наклонный круговой цилиндр Ц₁ и эллиптический цилиндр Ц₂ (поверхность не вращения);
• – общая плоскость симметрии поверхностей является фронтальной плоскостью уровня (подразумевается);
• – оси поверхностей i₁ и i₂ – пересекаются.

Решение задачи, то есть введение сечений цилиндра Ц₂ (параллельных заданному) горизонтальными плоскостями уровня α, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки A(A») и B(B») пересечения фронтальных очерков принадлежат линии пересечения.

Определяем границы введения сечений цилиндра Ц₂ – это точки A(A») и B(B») пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел.

Построить проекции точек линии пересечения поверхностей, выполнив действия предложенного графического алгоритма II.

Графический алгоритм II.

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительные графические действия.

1.1. Задать произвольное круговое сечение эллиптического цилиндра Ц₂ горизонтальной плоскостью α_V1 – прямую t₁-t₂. Эта заданная линия t₁-t₂ – окружность пересечения эллиптического цилиндра с искомой вспомогательной сферой, центр которой лежит на перпендикуляре, проведенном из середины этой прямой.

1.2. Провести к прямой t₁-t₁ через ее середину перпендикуляр k» и на пересечении с осью i₁ кругового цилиндра Ц₁ определить точку О₁ – центр первой вспомогательной сферы-посредника.

1.3. Провести окружность сферы-посредника радиусом R_сф.1, который определяется расстоянием от точки О»₁ до одной из точек t»₁ или t»₂ прямой t₁-t₂.

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения сферы посредника с соосной ей поверхностью кругового цилиндра Ц₁ – это прямая s₁-s₂, проходящая через точки пересечения очерков сферы и цилиндра.

3-е действие. Определить на пересечении заданной окружности t₁«-t₂» и построенной окружности s₁«-s₂» совпадающие точки 1(1″), принадлежащие искомой линии пересечения.

Дополнительные действия.

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма II и построить проекции точек 2(2″);

5-е действие. Соединить на фронтальной проекции точки А»-1″-2″-B» линии пересечения плавной видимой кривой.

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

Структуризация материала восьмой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 8.16 (лист 1). На последующих листах 2–5 приведены иллюстрации к этой схеме для быстрого визуального закрепления изученного материала при повторении (рис. 8.17–8.20).

Пересечение поверхностей:

Частный случай 1. Обе пересекающиеся поверхности проецирующие

Частный случай 2. Одна из двух пересекающихся поверхностей проецирующая

Частный случай 3. Соосные поверхности вращения (с общей осью i)

Частный случай 4. Пересечение поверхностей вращения 2-го порядка, описанных вокруг сферы

Общие случаи пересечения поверхностей:

1. Способ вспомогательных секущих плоскостей

а. Одностороннее касание (две замкнутые пространственные линии пересечения касаются в одной точке К)

Графический алгоритм:

1. Ввести плоскость-посредник (горизонтальная плоскость α/α_V3).
2. Построить линии пересечения плоскости-посредника с каждой поверхностью (окружности радиусом R_3К и R_3m).
3. Определить точки (3), принадлежащие искомой линии пересечения (на пересечении построенных окружностей радиусами R_3К и R_3m).
4. Повторить алгоритм необходимое число раз.
5. Способ вспомогательных концентрических сфер

б. Частичное врезание (линия пересечения — замкнутая пространственная линия)

Графический алгоритм:

1. Ввести сферу-посредник (R_1min минимальная вписанная сфера-посредник)
2. Построить линии пересечения сферы-посредника с каждой поверхностью (касательная окр.1 и окр.1, пересечение соосных поверхностей)
3. Определить точки 1, принадлежащие искомой линии пересечения (на пересечении построенных проекций окружностей 1)
4. Повторить алгоритм необходимое число раз, увеличивая радиусы сфер-посредников
5. Способ вспомогательных эксцентрических сфер

в. Полное проницание (линия пересечения распадается на две замкнутые пространственные линии)

Графический алгоритм:

I. Предварительные действия для определения центра вспомогательной сферы-посредника

1. Задать проекцию окружности (прямая S_1-S₂), по которой вспомогательная плоскость α/α_V1) пересекает поверхность открытого тора.

2. Провести через середину этой проекции перпендикуляр к ней до пересечения с осью конуса — на пересечении определяется центр первой сферы-посредника О₁(О»).

II. Основные действия

3. Ввести сферу-посредник радиусом R₁ с центром в т. О₁(О₁«).

4. Построить линии пересечения сферы-посредника с каждой поверхностью (заданная окружность S₁ -S₂ и две построенные окружности n₁ и n₂).

5. Определить точки 1₁» и 1₂», принадлежащие искомой линии пересечения (на пересечении линий S₁ -S₂ (S₁«-S₂«) и n₁» и n₂».

Образец взаимного пересечения поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей — это геометрическое место точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям.

Общим способом построения точек, принадлежа­щих кривой взаимного пере­сечения поверхностей, является способ вспомогательных поверхностей посредников. Этот способ заключается в следующем.

Пусть даны некоторые взаимно пересекающиеся по­верхности (рис. 5.39).

Введем плоскость-посредник Р, которая пересечет поверхности по линиям Пересечение линий даст точки принадлежащие кривой пересечения. Применяя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения. В качестве посредников наиболее часто применяют плоскости и шаровые поверхности — сферы. В зависимости от вида поверхностей посредников можно выделить следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей:

• а) способ вспомогательных секущих плоскостей;
• б) способ вспомогательных сфер.

При построении линии взаимного пересечения поверхностей не­обходимо сначала строить опорные точки кривой. Эти точки дают пределы линии пересечения. Между ними и следует определять промежуточные (случайные) точки.

Автор:

GS · Опубликовано: 27 минут назад

Всё куда-то я бегу 
Бестолково и бессрочно, 
У кого-то я в долгу, 
У кого — не помню точно. 
Всё труднее я дышу — 
Но дышу, не умираю. 
Всё к кому-то я спешу, 
А к кому — и сам не знаю. 
Ничего, что я один, 
Ничего, что я напился, 
Где-то я необходим, 
Только адрес позабылся. 
Ничего, что я сопя 
Мчусь по замкнутому кругу — 
Я придумал для себя, 
Что спешу к больному другу. 
Опрокинуться в стогу, 
Увидать Кассиопею — 
Вероятно, не смогу, 
Вероятно, не успею… 

=

© Леонид Филатов «Суета сует.»

===

===

Городок провинциальный, 
Летняя жара, 
На площадке танцевальной 
Музыка с утра. 
Рио-рита, рио-рита, 
Вертится фокстрот, 
На площадке танцевальной 
Сорок первый год. 
Ничего, что немцы в Польше, 
Но сильна страна, 
Через месяц – и не больше – 
Кончится война. 
Рио-рита, рио-рита, 
Вертится фокстрот,  На площадке танцевальной 
Сорок первый год.    

=

© Геннадий Шпаликов                                                                                  

Содержание:

Взаимное пересечение поверхностей:

При пересечении поверхностей образуется линия, которую принято называть линией взаимного пересечения поверхностей. Эта линия пересечения принадлежит одновременно двум поверхностям. Поэтому построение линии пересечения сводится к определению точек одновременно принадлежащих обеим поверхностям. Для нахождения таких точек используется в общем случае метод вспомогательных секущих поверхностей. Сущность способа заключается в следующем: Пусть задано две поверхности

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

1. Введем вспомогательную поверхность Ф.
2. Строим линии пересечения поверхности Ф с поверхностями
3. Определяем точки пересечения К и М, простроенных линий a и b
4. Многократно повторяя эту операцию, найдем ряд точек, принадлежащих одновременно двум поверхностям.
5. Соединяем последовательно точки с учетом видимости.

В качестве посредников могут быть приняты как поверхности, так и плоскости, но целесообразно выбирать такие, которые дают наиболее простые линии пересечения с заданными поверхностями.

Взаимное пересечение поверхностей

Линия, общая для двух пересекающихся поверхностей — линия пересечения.

Чтобы определить проекцию линии пересечения, необходимо найти проекции точек, общих для этих поверхностей. Их находят способом вспомогательных секущих плоскостей или вспомогательных сфер.

Если рёбра призмы или ось вращения цилиндра перпендикулярны какой-либо из плоскостей проекций, то на этой плоскости проекций линия пересечения совпадает с контуром основания призмы или цилиндра.

Пересечение двух многогранников

Для построения линии пересечения двух многогранников необходимо определить точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, затем ребер второго с гранями первого. Полученные точки соединить отрезками прямой с учетом видимости. На рисунке 9.2 заданы поверхности трехгранной призмы DEFD’E’F’ и трехгранной пирамиды SABC. Так как призма F, фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с гранями призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию. Для этого определяем точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы. Ребро SC пересекает грани призмы в точках I и 2, ребро SB — в точках 3 и 4, ребро SA не пересекает призму. Затем определяем точки пересечения ребер призмы с гранями пирамиды.

По чертежу видим, что только ребро DD’ пресекает поверхность пирамиды. Для определения точек пересечения 5 и б через ребро DD’ проводим горизонтальную плоскость, которая пересекает пирамиду по треугольнику. Точки 5 и 6 получаем, как пересечение DD’ с построенным треугольником.

Полученные точки соединяем с учетом видимости. Видимой считается тот отрезок прямой, который принадлежит двум видимым граням поверхностей.

Как видим, линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную ломаную линию.

В том случае, когда обе гранные поверхности общего положения, последовательность соединения точек вызывает затруднение. Поэтому для соединения точек используется диаграмма Ананова — условные развертки поверхностей (см. учебник).

Пересечение гранной и кривой поверхности

Линия пересечения гранной и кривой поверхности, представляет собой пространственную кривую линию, с точками излома на ребрах многогранника.

Поэтому сначала определяем точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью, а затем промежуточные точки и соединяем их с учетом видимости. На рисунке 9.3 заданы поверхности трехгранной призмы и кругового конуса.

Так как призма фронтально-проецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию линии пересечения.

Сначала определяем точки пересечения ребер призмы с поверхностью конуса, а затем находим промежуточные точки, принадлежащие линиям пересечения. Для нахождения точек пересечения, используем горизонтальные плоскости посредники, так как они пересекают конус по окружностям, а призму но прямым линиям. Как видим, в данном случае линия пересечения распадается на две отдельные части.  

Пересечение двух кривых поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Линия пересечения двух кривых поверхностей, представляет пространственную кривую линию. Поэтому для ее построения необходимо определить ряд точек принадлежащих этой лини.

На рисунке 9.4 заданы поверхности конуса и сферы. Точки строятся при помощи горизонтальных плоскостей посредников, которые рассекают обе поверхности но окружностям.

Обязательно находим опорные точки, к которым относятся высшая и низшая точки линии пересечения и точки границы видимости. Так как оси поверхностей лежат в одной фронтальной плоскости, контурные образующие поверхностей пересекаются в точках 1 и 2 — это и будет высшая и низшая точки. Точки границы видимости лежат на экваторе сферы, поэтому точки 3 и 3′ находим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости, проходящей через центр сферы. Она рассекает сферу по экватору, а конус но параллели радиуса R.

Взаимно пересекаясь, они и дают точки 3 и 3′ фронтальную проекцию определяем по вертикальной линии связи на плоскости Затем берем еще две вспомогательные плоскости расположенные выше и ниже плоскости и выполняя, аналогичные построения определяем точки 4 и 5 и 5′. Полученные точки соединяем с учетом видимости.  

• Заказать чертежи

Пересечение поверхностей вращении. Метод вспомогательных секущих сфер

Способ вспомогательных секущих сфер применяется при следующих условиях:

1. Пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения.
2. Оси этих поверхностей пересекаются.
3. Оси поверхностей параллельны одной из плоскостей проекций.

Перед рассмотрением этого способа разберем понятие соосных поверхностей. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Соосные поверхности пересекаются по окружностям перпендикулярным оси вращения.

На рисунке 9.5 приведены некоторые из них.

Именно то, что поверхности пересекаются по окружностям, которые проецируются в линии и используется в методе сфер.

Рассмотрим пример на рисунок 9.6. Даны поверхности вращения — конус и цилиндр. Так как оси лежат в одной плоскости, можно определить точки пересечения контурных образующих в точках 1 и 2, как в предыдущем примере.

Однако, для нахождения промежуточных точек, вспомогательные секущие плоскости не подходят, т.к. горизонтальные плоскости рассекут цилиндр по эллипсам, фронтально-нроецирующие — конус по эллипсам. А сам эллипс строить непросто. Поэтому именно в этом случае удобно использовать в качестве посредников — сферы. За центр вспомогательных сфер, принимается точка пересечения осей заданных поверхностей. Далее необходимо определить, размеры радиусов вспомогательных секущих сфер. Максимальный радиус сферы

В данном случае минимальная сфера вписана в конус. Минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности, а цилиндр пересекает по окружности. Нужно, иметь ввиду, что проекции окружностей пересечения перпендикулярны осям вращения. Эти две окружности пересекаются в точке . Фактически таких точек две, они совпадают на фронтальной проекции. Для построения промежуточных точек берем вспомогательные сферы радиусов в пределах от

Они пересекают и поверхность цилиндра, и поверхность конуса по окружностям, которые пересекаясь даюг промежуточные точки. Полученные точки соединяются плавной линией.

Здесь построена только фронтальная проекция. Для построения горизонтальной проекции, если это необходимо, точки строят как лежащие на окружностях полученных радиусов.  

Теорема Монжа

Рассмотрим вариант, когда минимальная сфера касается двух поверхностей вращения. В этом случае для построения линии пересечения поверхностей используется теорема Г. Монжа, которая формулируется так:

Если две поверхности вращении второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линии их пересечении распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходит через прямую, соединяющую точки пересечении линий касании.

В соответствии с этой теоремой линии пересечения конуса и цилиндра описанного около сферы (рисунок 9.7) будут плоскими кривыми -эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми проходящими через — точки линий пересечения окружностей касания.

Пересечение поверхностей вращения с многогранниками

Внешние и внутренние формы большинства предметов образуются сочетанием нескольких поверхностей. Пересекаясь между собой, они образуют линии, которые принято называть линиями перехода.

На рис. 9.1 изображена деталь с несколькими линиями перехода. Линия 1 является границей между плоской и торовой поверхностями, 2 — торовой и конической, 3 — конической и плоскими (гранями призмы), 4 и 5 — торовой поверхностью корпуса и цилиндрическими поверхностями патрубков.

Рисунок 9.1 – Корпус с линиями перехода

Линия пересечения многогранника с телом вращения в общем случае состоит из отдельных участков кривых линий, получающихся при пересечении граней многогранника с поверхностью вращения. Точки перехода от одного участка к другому находятся в пересечении ребер многогранника с телом вращения и называются точками излома. Участок линии пересечения может быть и прямой линией в случае пересечения линейчатой поверхности вращения гранью многогранника по образующей.

При проницании (полном пересечении) получаются две замкнутые линии пересечения. Они могут быть плоскими (поверхность вращения проницает одну грань) или пространственными, состоящими из нескольких плоских кривых с точками излома в местах пересечения поверхности вращения ребрами многогранника.

При врезании (неполном пересечении) получается одна замкнутая пространственная линия.

Таким образом, в соответствии с указанным выше, задачи данной темы решаются по следующему плану:

• Определяются точки излома линии пересечения, являющиеся точками пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения;
• Находятся точки принадлежащие линиям пересечения отдельных граней многогранника с телом вращения. При этом сначала следует найти характерные (опорные) точки кривых. Это точки, проекции которых отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой, это проекции наивысших и наинизших точек линии пересечения, ближайших и наиболее удаленных, крайних слева и справа на проекциях линии пересечения;
• Определение видимости линии пересечения поверхностей и их очерков. Видимость проекций участков линии пересечения определяется из условия расположения их на видимой стороне каждой поверхности.

При построении точек линии пересечения многогранников с телами вращения используют вспомогательные секущие плоскости. Их располагают так, чтобы они пересекали данные поверхности по простым для построения линиям (прямым или окружностям).

Рассмотрим линии пересечения поверхности прямой трехгранной призмы с поверхностью конуса вращения. Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями, а ось конуса перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.

Призму можно рассматривать, как три плоскости, проходящие через ее грани, а задача сводится к нахождению линий пересечения этих плоскостей с конусом.

Рисунок 9.2 — Пересечение трехгранной призмы с конусом

Пример. Построить линию пересечения поверхности тора с поверх-ностью трехгранной призмы (рис. 9.3).

Решение. Боковые грани призмы являются фронтально-проецирующими плоскостями и фронтальная проекция линии пересечения совпадают с проекцией боковой поверхности призмы. Из фронтальной проекции видно, что в данном случае имеет место проницание тора призмой (две замкнутые линии пересечения).

На рис. 9.3 рассмотрен пример пересечения поверхностей тора и треугольной призмы [2].

По двум заданным проекциям строим третью – профильную.

Рисунок 9.3 – Построение линии пересечения трехгранной призмы с тором

Заданная призма – горизонтально-проецирующая. Так как грани призматического отверстия перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, то на чертеже известна горизонтальная проекция линии пересечения, она совпадает с вырожденной проекцией поверхности призмы.

Следовательно, линия пересечения совпадает с горизонтальной проекцией основания призмы.

Определяем характерные точки: самую близкую точку 1 фронтальной плоскостью и самые далекие – и 3 фронтальной плоскостью S ().

Определяем промежуточные точки 4 и 5 при помощи вспомогательных фронтальных плоскостей .

Соединяем полученные точки плавной кривой линией с учетом видимости.

Пересечение поверхностей вращения

Линия пересечения двух поверхностей вращения в общем случае представляет пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми и даже прямыми линиями.

Линию пересечения поверхностей обычно строят по ее отдельным точкам. Точки подразделяются на характерные (опорные) и промежуточные (случайные).

Общим способом построения этих точек является способ вспомогательных секущих поверхностей – посредников. При пересечении данных поверхностей вспомогательной поверхностью определяются линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников применяются плоскости или сферы.

Для определения линии пересечения часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей.

Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности.

Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода — метод секущих плоскостей и метод секущих сфер.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

В качестве вспомогательных секущих плоскостей чаще всего используют плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.

Положение их выбирают таким, чтобы они пересекали заданные поверхности по простейшим линиям – прямым или окружностям.

Этот способ рекомендуется применять, если сечениями заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями. Такая возможность существует в трех случаях:

1. Если образующие (окружности) расположены в общих плоскостях уровня;
2. Если в общих плоскостях уровня оказываются прямолинейные образующие линейчатой поверхности и окружности циклической;
3. Линейчатые каркасы заданных поверхностей принадлежат общим плоскостям уровня или пучкам плоскостей общего положения.

Пересечение цилиндрической и торовой поверхности

Если одна из поверхностей является цилиндрической проецирующей поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, так как в этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с окружностью – проекцией цилиндра на перпендикулярную плоскость проекций.

На рис. 9.4 построена линия перехода между цилиндром и тором. Так как поверхность цилиндра перпендикулярна плоскости Н, то горизонтальная проекция линии перехода известна. Она совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальную и профильную проекции строим по принадлежности точек линии перехода не проецирующей поверхности тора.

Рисунок 9.4 — Построение линии пересечения цилиндра с тором

Линия пересечения заданных поверхностей представляет собой пространственную кривую линию, имеющую фронтальную плоскость симметрии, образованную пересекающимися поверхностями цилиндра и тора.

Рассмотрим линию пересечения поверхности сферы с поверхностью конуса вращения (Рисунок 9.5).

Точки 1 и 7, расположенные на очерках фронтальных проекций конуса и сферы, очевидны и определяются без дополнительных построений.

Точка 4 на экваторе сферы построена с помощью горизонтальной плоскости, пересекающей конус по окружности. В пересечении горизонтальных проекций этой окружности и экватора находится горизонтальная проекция 4′ точки 4 и фронтальная 4» проекции точки 4 определим с помощью линии связи. Точка 4 на горизонтальной проекции разделяет кривую на видимую и невидимую части.

Точки 2, 3, 5 и 6, расположенные в промежутке между характерными точками 1,4 и 7 строим аналогично. С помощью линий связи определим фронтальные и горизонтальные проекции этих точек.

Рисунок 9.5 — Построение линии пересечения конуса и сферы

Особые случаи пересечения

Пересечение соосных поверхностей вращения

Соосными называют поверхности вращения, оси которых совпадают. Линия пересечения таких поверхностей строится на основании теоремы о пересечении соосных поверхностей вращения: соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружностям.

Если ось вращения соосных поверхностей перпендикулярна к какой либо плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде окружности, а на другую плоскость проекций – в прямую линию.

75

На рис. 9.6 даны примеры пересечения соосных поверхностей вращения (ось вращения параллельна горизонтальной плоскости). На рис. 9.6, а приведены сфера и конус, б – сфера и цилиндр, в – сфера и тор.

Рисунок 9.6 — Пересечение соосных поверхностей вращения

Теорема Монжа для пересекающихся поверхностей вращения

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Для этого случая пересечения поверхностей вращения необходимо выполнение трех условий:

• пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
• оси поверхностей должны пересекаться;
• плоскость, образованная осями поверхностей, должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Рисунок 9.7 — Пересечение поверхностей вращения по теореме Монжа

Это положение подтверждается теоремой Монжа: Если две поверхности второго порядка могут быть вписаны или описаны около третьей поверхности второго порядка, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка распадается на две плоские кривые второго порядка.

Способ вспомогательных секущих сфер

При построении линии пересечения поверхностей вращения не всегда удается подобрать секущие плоскости так, чтобы они пересекали поверхности по линиям, проекции которых были бы прямыми или окружностями. В некоторых таких случаях в качестве секущих поверхностей (посредников) целесообразно применять сферы. Этот способ основан на свойстве сферы пересекаться с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы по окружности.

Чтобы сфера одновременно пересекала две поверхности по окружностям, проецирующимся в прямые линии, необходимо выполнить условия:

• Оси поверхностей вращения должны пересекаться (точку пересечения принимают за центр вспомогательных концентрических сфер).
• Оси поверхностей вращения должны располагаться параллельно какой-либо плоскости проекций.

Пример. Построить проекции линии пересечения поверхностей конуса и цилиндра (рис. 9.8) [1].

Заданы прямой усеченный конус и наклонный цилиндр – тела вращения. Их оси параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точке О(о′,о), т.е. соблюдены условия метода сфер.

Как и в предыдущих задачах, найдем проекции характерных точек. Точка 1 – самая высокая, точка 2 – самая низкая. Чтобы убедится в этом проведем через оси тел вспомогательную фронтальную плоскость . Эта плоскость рассекает рассматриваемые тела по крайним очерковым образующим, которые на фронтальную плоскость проекции проецируются без искажения и, пересекаясь между собой, образуют искомые точки 1′, 2′. С помощью вспомогательных сфер найдем другие точки линии пересечения заданных поверхностей. Для определения радиуса наименьшей сферы из центра О(о′) проведем две нормали, перпендикулярные очерковым образующим этих тел и большей нормалью выполним эту сферу. Эта сфера будет наименьшей , проведенной в большем теле, поэтому поверхности конуса она касается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка m′′n′′, а поверхность наклонного цилиндра пересекает по окружности, фронтальная проекция которой также проецируется в прямую линию k′′l′′. В пересечении k′′l′′ и m′′n′′ получим точку 3′′ – самую глубокую точку пересечения. Для нахождения промежуточных точек проведем ряд концентрических сфер, радиусы которых должны находится в пределе , и аналогично точке 3′′ находим необходимые промежуточные точки.

Рисунок 9.8 — Построение линии пересечения конуса и цилиндра

Учитывая, что сфера минимального радиуса всегда касается той поверхности, которая пронизывается другой, соединим найденные фронтальные проекции плавной кривой. Получим фронтальную проекцию линии пересечения. В нашем случае сфера радиусом касается поверхности конуса, значит, поверхность цилиндра пронизывает поверхность конуса.

Построим горизонтальную проекцию линии пересечения. Т.к. точки 1′′, 2′′ лежат на очерковой образующей конуса, то горизонтальные проекции этих точек находятся на оси конуса, т.е. на горизонтальной проекции этой образующей. Для нахождения горизонтальных проекций точек 3′, 4′, 5′ воспользуемся горизонтальными плоскостями , проведенными через эти точки соответственно. Каждая плоскость рассекает поверхность конуса по окружности, которая на горизонтальной плоскости проекций не искажается. По линиям связи найдем горизонтальные проекции точек 3′, 4′, 5′.

Для правильного соединения точек определим их видимость. Границей видимости на плоскости Н является точка 4′′, лежащая на осевой фронтальной проекции цилиндра. Горизонтальные проекции ее находятся на очерковых образующих цилиндра. Соединив плавной кривой найденные точки, получим горизонтальную проекцию линии пересечения рассматриваемых тел.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Суть способа — вспомогательная секущая плоскость одновременно пересекает поверхности каждого тела и образует фигуры сечения, контуры которых пересекаются. Точки пересечения контуров соединяют.

Этот способ применим тогда, когда контуры отдельных сечений представляют прямые линии или окружности.

Точки являются очевидными — это точки пересечения очерковых и оснований конусов. Найдём соответствующие вторые проекции этих точек.

Проведём горизонтальную плоскость которая рассечет оба конуса. В сечении конусов будут окружности причем их фронтальными проекциями являются прямые. Построим горизонтальные проекции этих сечений — окружности радиусом

На пересечении этих окружностей сечений на  определим горизонтальную проекцию общей точки — Фронтальную проекцию точек 2 и 2 определим по линиям связи на секущей плоскости

Проведём еще ряд горизонтальных секущих плоскостей и определим проекции других промежуточных точек линии пересечения, которые соединим лекальной кривой с учётом видимости.

При взаимном пересечении конуса и цилиндра (рисунок 1) ось вращения цилиндра перпендикулярна . Значит, на линия пересечения совпадет с контуром основания цилиндра, т.е. фронтальной проекцией линии пересечения будет являться фронтальная проекция цилиндра.

Построив горизонтальную проекцию линии пересечения, на на пересечении горизонтальной оси симметрии цилиндра с проекцией цилиндра наметим точки — точки границы видимости линии пересечения, лежащие на экваторе цилиндра.

На точки линии пересечения, лежащие выше экватора будут видимы, а точки, лежащие ниже экватора — невидимы.

Способ вспомогательных сфер

Этот метод можно применять при соблюдении следующих условий :

• пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
• их оси должны пересекаться ; точка пересечения осей является центром вспомогательных сфер;
• их оси должны быть // какой-либо плоскости проекций.

Сфера проходит через самую дальнюю очевидную точку.

Сфера , должна касаться образующей большего тела, а меньшее тело -пересекать.

Сфера определяется как большее расстояние от центра сфер до образующих обоих тел — перпендикуляры из центра сфер к очерковым образующим. Больший перпендикуляр и будет являться радиусом минимальной сферы.

Сфера пересекает тела по окружностям, проецирующимся на одну из плоскостей проекций отрезком.

1.    Определяем очевидные точки

2.    Восстанавливаем перпендикуляры из центра сфер к очерковым образующим цилиндра и конуса. Перпендикуляр к цилиндру больше, чем перпендикуляр к образующей конуса. Значит, и будет являться радиусом минимальной сферы. На проводим из центра этим радиусом R окружность, которая рассечет и конус и цилиндр по окружностям, фронтальной проекцией которых будут прямые — сечение конусаи сечение цилиндра

На пересечении этих сечений определяем фронтальную проекцию точки 3 — .

3.    На строим горизонтальную проекцию сечения конуса, на котором находится точка 3 -окружность радиусом / 2, на которой по линии связи определяем точки

1.    Проводим ещё ряд секущих сфер радиусом больше минимальной и меньше максимальной и определяем другие промежуточные точки линии пересечения, которые соединяем лекальной кривой с учётом видимости.

Большее тело поглощает меньшее.

2.    Видимость линии пересечения определяем следующим образом:

Элементы технического рисования

Технический рисунок — это наглядное изображение, выполненное по правилам аксонометрических проекций от руки, на глаз, соблюдая пропорции. Им пользуются на производстве для иллюстрации чертежей.

Обычно технический рисунок выполняется в изометрии.

Выполнение рисунка модели или детали начинается с проведения аксонометрических осей. Затем рисуется основание и строятся габаритные очертания -прямоугольные параллелепипеды. Деталь мысленно расчленяют на отдельные геометрические элементы, постепенно вырисовывая все элементы.

Технические рисунки получаются более наглядными, если их покрыть штрихами. При нанесении штрихов считают, что лучи света падают на предмет справа и сверху или слева и сверху.

Взаимное пересечение поверхностей с примерами

Алгоритм решения задач по определению линии пересечения поверхностей Ф’ и Ф» (рис. 9.1) в целом аналогичен решению второй позиционной задачи и состоит в следующем:

1. Обе заданные поверхности Ф’ и Ф» рассекают третьей, вспомогательной плоскостью или поверхностью P.
2. Определяют линии пересечения каждой заданной поверхности со вспомогательной: Ф’ × P =l’, Ф» × P =l».
3. Определяют точки пересечения полученных линий l’×l» = A и A’. Точки A и a´ принадлежат обеим поверхностям.
4. Проведя несколько вспомогательных поверхностей, находят достаточное количество точек и соединяют их плавной лекальной кривой, которая и является искомой линией пересечения поверхностей.
5. Определяют видимость поверхностей и линии их пересечения.

Рис. 9.1. Пересечение поверхностей

В качестве вспомогательных поверхностей P следует выбирать поверхности — плоскости или сферы, которые пересекают обе заданные поверхности по наиболее простым для построения линиям — прямым или окружностям. Кроме того, если в сечении поверхности получаются окружности, они должны проецироваться на одну из плоскостей проекций без искажения.

Определение точек линии пересечения поверхностей начинают с построения так называемых опорных точек. К ним относятся:

• точки пересечения очерковых образующих, если образующие лежат в одной плоскости,
• точки, лежащие на очерковых образующих поверхностей,
• точки, лежащие в общей плоскости симметрии,
• экстремальные (верхние — нижние, правые — левые) по отношению к плоскостям проекций, к центру концентрических сфер.

При соединении точек следует иметь ввиду, что проекции линии пересечения не могут выходить за пределы общей площади — площади наложения — проекций пересекающихся поверхностей. Видимыми будут те участки линии пересечения, которые принадлежат видимым частям обеих поверхностей.

Способ вспомогательных параллельных плоскостей

Этот способ заключается в том, что обе поверхности рассекаются параллельными плоскостями уровня. Этот способ применяют лишь в тех случаях, когда вспомогательные плоскости рассекают поверхности по простым линиям — прямым или окружностям, которые проецируются на соответствующую плоскость проекций без искажения.

Рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового конуса и сферы (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Линия пересечения поверхностей прямого кругового конуса и сферы

Фронтальные плоскости уровня пересекают поверхность конуса по гиперболам, следовательно, для решения данной задачи нужно применить горизонтальные плоскости уровня, которые рассекают обе данные поверхности по окружностям.

Решение задачи начинают с построения опорных точек. Конус и сфера имеют общую плоскость симметрии γ(γ₁), параллельную плоскости П₂. Поэтому высшая точка A и низшая точка F линии пересечения получаются как результат пересечения очерковых образующих конуса и сферы (рис. 9.3).

Остальные точки определяются с помощью горизонтальных плоскостей уровня. Более подробно разберем построение точек E и E'(рис. 9.4).

1.    Пересечь обе поверхности вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня α(а₂). Плоскость а(а₂) пересекает сферу по окружности m(m₁,m₂), а конус — по окружности q(q₁,q₂):
m(m₁ ,m ₂)=Ф ^сф а (а₂);
q(q₁ ,q₂) =Ф^к а (u₂).
 

2.    Построив горизонтальные проекции окружностей m и q, определить точки их пересечения E и E’:
E₁= m₁ × q₁; E₂=E₁E₂α2.
E’₁=m₁ × q₁; E’₂=E_lE₂α2.

Рис. 9.3. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

3.    Аналогичным образом определяются остальные точки, формирующие линию пересечения (рис. 9.5,а). Они получены с помощью горизонтальных плоскостей уровня β(β₂), δ(δ₂) и μ(μ₂). Пределы этих плоскостей по высоте определяют высшая и низшая опорные точки линии пересечения поверхностей. Плоскость μ(μ₂)рассекает поверхность сферы по очерковой образующей b (b₂, b₂),поэтому полученные точки В и В’ являются опорными, ограничивающими линию пересечения поверхностей по ширине.

4.    Последовательно соединить одноименные проекции полученных точек плавной лекальной кривой. Полученная линия не должна выходить за пределы области перекрытия проекций данных поверхностей.

5.    Определить видимость линии пересечения поверхностей и их очерковых образующих.

Поверхность конуса на горизонтальной плоскости проекций полностью видима, следовательно, видимость линии пересечения определяется по поверхности сферы. Видима будет та часть сферы, которая на П₂ лежит выше очерковой образующей b₂.Точки В и В’ на очерковой образующей сферы являются точками смены видимости линии пересечения на плоскости проекций П₁.
Искомая линия пересечения поверхностей конуса и сферы d(d₁,d₂) (кривая второго порядка), полученная способом вспомогательных секущих плоскостей, приведена на рис 9.5,б.

Рис. 9.4. Определение промежуточных точек линии пересечения поверхностей:
а — наглядное изображение;
б — комплексный чертеж

Рис. 9.5. Определение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных параллельных плоскостей:
а — определение промежуточных точек;
б — искомая линия пересечения

Способ вспомогательных сфер

При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных сфер возможны два случая. В одном из них используются сферы, проведенные из одного, общего центра (концентрические), а в другом -сферы, проведенные из разных центров (эксцентрические).

Способ концентрических сфер

Этот способ применяется для построения линии пересечения поверхностей вращения произвольного вида, при условии, что оси этих поверхностей пересекаются.

В основу способа концентрических сфер положено свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности.

Если центр сферы находится на оси любой поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получатся окружности (рис. 9.6).

Рис.    9.6. Соосные поверхности вращения:
a- наглядное изображение;
б — на комплексном чертеже

Рассмотрим способ концентрических сфер на примере построения линии пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых i(i₁,i₂) и q(q₁,q₂) пересекаются и точка пересечения осей обозначена через O (O₁ ,O₂)(рис. 9.7).

Рис. 9.7. Линия пересечения поверхностей цилиндра и прямого кругового конуса

Точка пересечения осей поверхностей принимается за центр вспомогательных концентрических сфер.

Алгоритм решения задачи об определении линии пересечения поверхностей состоит в следующем:

1.    Определить опорные точки (рис. 9.8). Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии δ(δ₁), параллельную плоскости проекций П₂, то их очерковые образующие, по отношению к плоскости П₂,пересекаются. Точки A(A₁,A₂), B(B₁,B₂), C(C₁,C₂) и D(D₁,D₂) пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей.

2.    Определить радиусы максимальной и минимальной сфер, необходимых для определения точек линии пересечения.

Радиус максимальной сферы R_max равен расстоянию от центра вспомогательных сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае Rmax=O₂A₂ (рис. 9.9).

Чтобы определить радиус минимальной сферы R_min, необходимо провести через точку O₂ нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет R_min. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей, а со второй — пересекаться.

В данном случае сферой минимального радиуса является сфера, касающаяся цилиндрической поверхности (см. рис. 9.9).

Сфера радиусом R_min касается цилиндрической поверхности по окружности m, которая на фронтальной проекции изображается в виде прямой m₂, перпендикулярной q₂(m₂q₂). Эта же сфера пересекает коническую поверхность по двум окружностям. Но, в данном случае, нам интересна только окружность n, так как только она дает решение. Эта окружность n изображается на фронтальной проекции в виде прямой n₂, перпендикулярной i₂(n2i₂). Точки E и Fпересечения этих окружностей будут принадлежать обеим поверхностям:

m₂×n₂ =E₂, F₂.

Чтобы построить горизонтальные проекции точек Е и F следует воспользоваться окружностью n, содержащей данные точки, так как она не искажается на плоскости проекций П₁:

E₁ ,F ₁∈ n₁.

Рис. 108. Определение опорных точек линии пересечения поверхностей

Рис. 9.9. Определение радиусов максимальной и минимальной сфер.

Для построения промежуточных точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке O, причем радиус R этих сфер должен изменяться в пределах R_min< R < R_max.

Рассмотрим определение точек линии пересечения на примере сферы радиусом R1 (R_min1max) (рис. 9.10, 9.11).

Рис. 9.10. Определение промежуточных точек линии пересечения поверхностей

Сфера радиусом R₁ пересекает цилиндрическую поверхность по окружности l, которая на фронтальной проекции изображается в виде прямой l₂, перпендикулярной q₂( 1₂q₂). Эта же сфера пересекает коническую поверхность по окружности k, которая изображается на фронтальной проекции в виде прямой k₂, перпендикулярной i₂(k₂i₂). Точки G и Hпересечения этих окружностей будут точками искомой линии пересечения:

1₂×k₂=G₂, H₂.

Чтобы построить горизонтальные проекции точек G и H, следует воспользоваться окружностью k, содержащей данные точки, так как она не искажается на плоскости проекций Π₁: G₁∈ k ₁.

4.    Аналогичным образом определить все остальные точки искомой линии пересечения. Последовательно соединить полученные точки плавной лекальной кривой. В данном случае линия пересечения поверхностей цилиндра и конуса представляет собой две кривые второго порядка u(u₁,u₂) и u( u’₁ ,u ₂) (рис. 9.12).

Горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей симметрична относительно плоскости δ(δ₁) — общей плоскости симметрии данных поверхностей. Эта плоскость была указана ранее (см. рис. 9.8).

Рис. 9.11. Определение промежуточных точек линии пересечения поверхностей

5.    Определить видимость линии пересечения поверхностей и их очерковых образующих. На фронтальной плоскости проекций видимы будут те точки линии пересечения, которые лежат перед горизонтальной проекцией очерковых образующих, проекции которых совпадают с плоскостью симметрии δ(δ₁), — точки A, M, G, E, D и B, K, P, C. На горизонтальной плоскости проекций линия u(u₁,u₂) видима, так как все ее точки лежат выше фронтальной проекции оси вращения цилиндра q(q₂), а линия u(u₁ ,u₂)будет невидима, поскольку все ее точки лежат ниже фронтальной проекции образующих, совпадающих с проекцией оси вращения цилиндра q(q₂).

Рис. 9.12. Линия пересечения поверхностей цилиндра и конуса

Пересечение поверхностей

Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечения

Линия пересечения принадлежит обеим пересекающимся поверхностям и образуется множеством их общих точек. Следовательно, построение линии пересечения поверхностей сводится к построению этих общих точек.

При пересечении поверхностей вращения порядок линии пересечения определяется умножением порядков пересекающихся поверхностей. Например, если пересекаются круговой конус (поверхность 2-го порядка) и сфера (поверхность 2-го порядка), то линия пересечения является кривой 4-го порядка.

Определение способа построения линии пересечения зависит от взаимного расположения пересекающихся поверхностей, а также от их расположения относительно плоскостей проекций. Из всех возможных вариантов пересечения поверхностей геометрических тел в зависимости от их взаимного расположения можно выделить четыре случая, которые позволяют определить и представить форму линии пересечения поверхностей:

I случай. Частичное врезание (рис. 8.1). В этом случае линией пересечения является одна замкнутая пространственная линия.

II случай. Полное проницание (рис. 8.2). В этом случае линией пересечения являются две замкнутые пространственные линии.

III случай. Одностороннее соприкосновение (рис. 8.3). В этом случае поверхности соприкасаются в одной общей точке K₁ и линия их пересечения, проходя через эту точку, распадается на две замкнутые пространственные линии (поверхности имеют одну общую касательную плоскость).

IV случай. Двойное соприкосновение (рис. 8.4).

В этом случае поверхности имеют две точки соприкосновения K₁ и K₂ и линия их пересечения распадается на две плоские кривые в соответствии с теоремой 2 (С. А. Фролов «Начертательная геометрия» [23]): «Если две поверхности вращения второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую m, соединяющую точки касания» (поверхности имеют две общие касательные плоскости).

В зависимости от расположения пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций и участия в пересечении геометрических тел, имеющих проецирующую поверхность (как призма или цилиндр) или не имеющих проецирующей поверхности (пирамида, конус, шар, тор, тороид, наклонная призма или наклонный цилиндр, глобоид и др.), следует выбрать оптимальный способ построения проекций линии пересечения поверхностей на чертеже.

По этим признакам способы построения линий пересечения поверхностей можно объединить в две группы:

Первая группа: частные случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения не требуется применения специальных способов, а используется частное положение пересекающихся геометрических тел относительно плоскостей проекций.

Вторая группа: общие случаи пересечения поверхностей, когда для построения линий пересечения требуется применить специальные способы посредников.

Частные случаи пересечения поверхностей

K первой группе частных случаев пересечения поверхностей относятся следующих четыре случая:

1-й случай: пересечение геометрических тел, боковые поверхности которых являются проецирующими, то есть, перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

2-й случай: пересечение геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность является проецирующей.

3-й случай: пересечение соосных поверхностей вращения, т. е. имеющих общую ось вращения.

4-й случай: пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Рассмотрим на примерах построение проекций линий пересечения поверхностей геометрических тел в четырех частных случаях первой группы.

Следует отметить, что перечисленные частные случаи пересечения поверхностей наиболее часто встречаются при формообразовании различных реальных деталей.

1-й частный случай

На рис. 8.5 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей горизонтально-проецирующего цилиндра и фронтально-проецирующей прямой правильной треугольной призмы, то есть пересекаются два геометрических тела, боковые поверхности которых занимают относительно плоскостей проекций проецирующее положение.

Характерный признак 1-го частного случая: на заданных проекциях тел определяются две проекции искомой линии пересечения:

– фронтальная проекция (л»п») линии пересечения 1″-2″-3″-4″ совпадает с вырожденной в ломаную линию боковой поверхностью призмы;

– горизонтальная проекция (л’п’) линии пересечения 1′-2′-3′-4′ совпадает с участком окружности, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требуется достроить только профильную проекцию (л’»п»‘) линии пересечения, построив профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности одному из тел (в данной задаче – цилиндру), и соединить их плавной кривой с учетом ее видимости на поверхностях.

2-й частный случай

На рис. 8.6 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса и фронтально-проецирующего цилиндра, то есть пересекающихся геометрических тел, у одного из которых боковая поверхность проецирующая.

Характерный признак 2-го частного случая: на заданных проекциях тел определяется одна проекция линии пересечения:

– фронтальная проекция (л»п») линии пересечения 1″-2″-3″-4″ совпадает с окружностью, которая является вырожденной проекцией боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, требуется достроить горизонтальную (л’п’) и профильную (л»‘п»‘) проекции линии пересечения, построив горизонтальные и профильные проекции обозначенных точек по их принадлежности конусу, и соединить построенные на проекциях точки плавными кривыми линиями с учетом их видимости на поверхностях.

!!! На профильную проекцию предмета пространственная кривая линия пересечения 4-го порядка проецируется в виде участка гиперболы.

3-й частный случай

Пересечение соосных геометрических тел. Соосными называются геометрические тела вращения, имеющие общую ось вращения «i». Поверхности соосных тел пересекаются по окружностям, перпендикулярным их общей оси. Если общая ось «i» соосных геометрических тел является прямой проецирующей (т. е. она перпендикулярна какой-либо одной плоскости проекций, а двум другим параллельна), то окружность пересечения проецируется дважды в прямую линию, перпендикулярную их общей оси, на те плоскости проекций, которым эта общая ось параллельна.

На рис. 8.7 показан пример построения линии пересечения соосных геометрических тел – конуса и горизонтально-проецирующего цилиндра, имеющих общую горизонтально-проецирующую ось i (ось перпендикулярна H и параллельна V и W). Линией пересечения является окружность, фронтальная (л»п») и профильная (л»‘п»‘) проекции которой представляют собой прямые линии, перпендикулярные их общей оси i и проходящие через точки пересечения фронтальных и профильных очерков поверхностей. Горизонтальная проекция этой окружности пересечения л’п’) совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией боковой поверхности цилиндра.

На рис. 8.8 показан пример построения линий пересечения двух пар соосных поверхностей:

– поверхности шара и горизонтально-проецирующего цилиндра, соосных относительно горизонтально-проецирующей оси i₁, окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и профильную проекции;

– поверхности шара и сквозного профильно-проецирующего цилиндрического отверстия Ц_отв в шаре, соосных относительно профильно-проецирующей оси i₂, окружности пересечения которых проецируются в прямые линии на фронтальную и горизонтальную проекции.

4-й частный случай

Пересечение поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы (по теореме Г. Монжа).

Напоминаем, к поверхностям вращения второго порядка относятся круговые цилиндр и конус, шар, эллипсоиды, параболоид и одно-, двуполостные гиперболоиды.

Эллиптические цилиндры и конусы, а также наклонный круговой конус – это не поверхности вращения!

Все торы (открытый, закрытый и самопересекающийся), глобоиды и тороиды относятся к поверхностям вращения четвертого порядка!

В 4-м частном случае имеет место двойное соприкосновение пересекающихся поверхностей вращения второго порядка, описанных вокруг сферы, и построение линии пересечения основано на теореме 2 (С. А. Фролов «Начертательная геометрия» [23]):

Теорема 3, известная как теорема Г. Монжа, вытекает из теоремы 2: «Если две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания».

Практическое применение теоремы возможно в том случае, когда две поверхности вращения второго порядка описаны вокруг сферы или вписаны в нее.

Использовать теорему Г. Монжа для построения на чертеже линии пересечения поверхностей можно при наличии в задаче четырех обязательных графических условий:

1. Пересекаются поверхности вращения второго порядка.
2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться (точка пересечения – центр вписанной сферы).
3. Поверхности описаны вокруг общей сферы или вписаны в нее.
4. Общая плоскость симметрии, проходящая через оси поверхностей, является плоскостью уровня.

При соблюдении этих четырех условий на одной из заданных проекций можно построить проекции двух плоских кривых, на которые распадается искомая линия пересечения:

• – плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий на ту проекцию предмета, которая расположена на плоскости проекций, параллельной общей плоскости симметрии поверхностей;
• – точки пересечения очерков поверхностей на этой проекции принадлежат искомой линии пересечения и через эти точки проходят прямые, в которые проецируются плоские кривые пресечения;
• – прямые, как проекции плоских кривых, пересекаются в точке, с которой совпадают проекции двух точек K₁≡K₂ соприкосновения поверхностей и соответственно проекция прямой m(m’, m»), соединяющей эти точки соприкосновения (точки касания).

!!! Точки касания (соприкосновения) поверхностей K₁(K₁«) и K₂(K₂«) определяются на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей.

На рис. 8.9 показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей вращения второго порядка – прямого кругового конуса и наклонного кругового цилиндра, описанных вокруг общей сферы. Для решения задачи использована теорема Г. Монжа, поскольку здесь соблюдены все четыре обязательных условия ее применения:

1. Пересекаются прямой круговой конус и круговой наклонный цилиндр, т. е. поверхности вращения второго порядка.
2. Оси конуса и цилиндра пересекаются в точке O(O»).
3. Обе поверхности описаны вокруг общей для них сферы с центром точке O(O»).
4. Общая плоскость симметрии поверхностей α(α_H) является фронтальной плоскостью уровня (//V).

Построение проекций линии пересечения поверхностей по теореме Г. Монжа выполняется по следующему графическому алгоритму:

1-е действие. Определить проекцию предмета, на которую плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий: в данной задаче это фронтальная проекция, так как общая плоскость симметрии α(α_Н) параллельна фронтальной плоскости проекций V.

2-е действие. Построить фронтальные совпадающие проекции K₁≡K₂ точек соприкосновения заданных поверхностей, лежащих на пересечении проекций окружностей касания вписанной сферы с каждой из поверхностей (прямые линии – проекций этих окружностей касания – строятся как линии пересечения соосных поверхностей, так как вписанная сфера образует две пары соосных поверхностей – конус/сфера с общей осью i₁ и цилиндр/сфера с общей осью i₂. На чертеже проекции этих окружностей касания проходят через точки, полученные на пересечении перпендикуляров, проведенных из точки О(О») – центра вписанной сферы – к образующим конуса (окружность касания 1) и цилиндра (окружность касания 2).

3-е действие. Отметить на фронтальной проекции точки A(A»), B(B»), C(C») и D(D») пересечения очерков поверхностей и построить фронтальные проекции плоских кривых пересечения 2-го порядка, соединив прямыми линиями A-B(A»-B») и C-D(C»-D») противоположные точки пересечения очерков (обе прямые обязательно должны пройти через построенные проекции точек соприкосновения поверхностей K₁≡K₂ (K»₁≡K»₂);

4-е действие. Построить горизонтальные проекции двух плоских кривых пересечения – эллипсов, по горизонтальным проекциях обозначенных точек A, B, C, D, K₁ и K₂, построенных по принадлежности поверхности конуса; обозначить и построить точки E(E’) и F(F’), которые лежат на очерковых образующих горизонтальной проекции цилиндра и определяют границу видимости кривых на горизонтальной проекции предмета, а также отметить и построить необходимое количество промежуточных точек (здесь не обозначены).

5-е действие. Оформить фронтальный и горизонтальный очерки пресекающихся поверхностей.

!!! Построение точек соприкосновения K₁≡K₂ поверхностей особенно важно в задачах, где по условию нельзя определить одну из четырех точек пересечения очерков поверхностей. Совпадающие проекции точек соприкосновения в этом случае определят направление одной из двух прямых линий – проекций плоских кривых пересечения (рис. 8.10). В данном случае проекция плоской кривой линии пересечения CE проведена через точки C и K₁≡K₂. Точка E определяется на основании конуса.

На рис. 8.11 показаны примеры построения линий пересечения поверхностей второго порядка, описанных вокруг сферы, с применением теоремы Г. Монжа. Они часто встречаются при конструировании различных переходов цилиндрических и конических труб, или пересечений отверстий в деталях.

Общие случаи пересечения поверхностей и способы построения линий пересечения поверхностей

Ко второй рассматриваемой группе относятся общие случаи пересечения геометрических тел, боковые поверхности которых могут занимать относительно плоскостей проекций непроецирующее положение (это наклонные призмы и цилиндры), а также геометрические тела, поверхности которых непроецирующие – это конус, сфера, торы, глобоид, эллипсоид, параболоид и гиперболоиды. Сюда же относятся наклонный эллиптический цилиндр, имеющий круговые сечения, и наклонный круговой конус.

Для построения линий пересечения поверхностей в этом случае применяются специальные способы вспомогательных посредников – плоскостей уровня или поверхностей (сфер, цилиндров, конусов), из которых мы рассматриваем следующие:

1. способ вспомогательных секущих плоскостей уровня;
2. способ вспомогательных концентрических сфер;
3. способ вспомогательных эксцентрических сфер.

Применение одного из указанных способов для построения линий пересечения поверхностей геометрических тел возможно при наличии некоторых обязательных графических условий расположения геометрических тел относительно плоскостей проекций и зависит от того, какие именно геометрические тела пересекаются в конкретной задаче.

Линия пересечения поверхностей является общей для обеих поверхностей и образуется множеством общих точек, которые строятся с помощью вспомогательных посредников.

Предварительно требуется выполнить графический анализ условия задачи для выбора рационального способа ее решения, определить проекцию предмета, на которой следует начинать решение задачи, и границы введения посредников.

Для построения проекций точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, способом посредников следует применять общий для всех рассматриваемых способов графический алгоритм.

Графический алгоритм I:

1-е действие. Ввести вспомогательную плоскость или поверхность-посредник.

2-е действие. Построить вспомогательные линии пересечения плоскости – или поверхности-посредника с каждой из заданных поверхностей.

3-е действие. Определить точки пересечения построенных вспомогательных линий пересечения – эти точки принадлежат искомой линии пересечения.

Рассмотрим на примерах применение различных способов вспомогательных посредников для построения проекций линий пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей уровня

Применение способа вспомогательных секущих плоскостей рационально при наличии двух графических условий:

1. Общая плоскость симметрии пересекающихся геометрических тел является плоскостью уровня; при соблюдении этого условия точки пересечения очерков поверхностей принадлежат искомой линии пересечения и определяют верхнюю и нижнюю границу введения плоскостей-посредников на соответствующей проекции предмета.

2. Сечениями геометрических тел в одной из плоскостей уровня должны быть простые в построении линии пересечения – прямые линии (образующие) или окружности; эту плоскость уровня и следует выбрать в качестве посредника.

На рис. 8.12 показан пример построения проекций линии пересечения прямого конуса и половины шара.

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета:

А. Выбираем для решения задачи способ вспомогательных секущих плоскостей, так как здесь соблюдены два графических условия его применения:

– общая плоскость симметрии β(β_Н) геометрических тел – конуса и полушара – является фронтальной плоскостью уровня (первое условие применения);

– горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают поверхности конуса и полушара по окружностям, выбираем в качестве вспомогательных плоскостей-посредников (второе условие применения).

Б. Решение задачи, то есть введение плоскостей-посредников, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии геометрических тел является фронтальной плоскостью уровня.

В. Определяем границы введения плоскостей-посредников – это точка А(А») пересечения фронтальных очерков и точки B(B’,B») пересечения окружностей оснований конуса и полушара, лежащие в горизонтальной плоскости уровня α(α_Vо).

Построить проекции точек искомой линии пересечения, выполнив действия предложенного графического алгоритма I:

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции предмета первую вспомогательную секущую горизонтальную плоскость-посредник α(α_V1) произвольно и ниже точки А(А»).

2-е действие. Построить на горизонтальной проекции предмета вспомогательные окружности радиусами R_к1 и R_ш1, по которым секущая плоскость-посредник α(α_V1) пересекает поверхности конуса и шара.

3-е действие. Определить на пересечении построенных вспомогательных окружностей горизонтальные проекции точек 1(1′), принадлежащих линии пересечения; фронтальные совпадающие проекции 1(1″) этих точек определяются по линии связи на фронтальной проекции плоскости-посредника α(α_V1).

3.1. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вторую плоскость-посредник α₂(α_V2), и построить проекции точек 2(2′,2″) и т. д.

Дополнительные действия:

4-е действие. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях: на фронтальную проекцию предмета пространственная кривая пересечения проецируется в видимую плоскую кривую второго порядка (участок параболы), поскольку горизонтальная проекция предмета имеет фронтальную симметрию; на горизонтальную проекцию предмета – в участок видимой кривой 4-го порядка сложной формы.

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости:

• – на фронтальной проекции – очерк конуса существует влево от точки А(А»), а очерк шара вправо от точки А(А») (несуществующие очерки конуса и шара оставить тонкими линиями);
• – на горизонтальной проекции – окружность основания конуса существует влево от точек В(B’), а окружность основания шара существует вправо от точек В(B’) (несуществующие части окружностей оснований конуса и шара оставить тонкими линиями).

!!! Способ вспомогательных секущих плоскостей позволяет строить одновременно две проекции искомой линии пересечения.

Способ вспомогательных концентрических сфер

Основанием для применения сферы в качестве вспомогательной поверхности-посредника являются две ее характерные особенности:

• – в сфере можно провести через ее центр бесконечное количество осей;
• – сфера может быть соосна любой поверхности вращения; соосные поверхности пересекаются по окружностям, проекции которых легко построить (см. рис. 8.7 и 8.8).

Сфера-посредник образует две пары соосных поверхностей с каждой из заданных поверхностей. Каждая образованная пара соосных поверхностей пересекается по соответствующим окружностям, которые проецируются в прямые, перпендикулярные общей оси каждой пары, и проходят через точки пересечения очерков каждой пары соосных поверхностей.

Применение способа вспомогательных концентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей возможно при наличии трех следующих графических условий:

1. Пересекаются поверхности вращения (кроме открытого и закрытого тора).
2. Общая плоскость симметрии пересекающихся поверхностей является плоскостью уровня; при этом условии точки пересечения очерков на проекции предмета, изображенного на параллельной общей плоскости симметрии плоскости проекций, принадлежат искомой линии пересечения.
3. Оси поверхностей пересекаются; точка пересечения осей является центром всех вспомогательных сфер.

На рис. 8.13 показан пример построения проекций линии пересечения усеченного конуса и тороида (самопересекающийся тор).

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей здесь применять не следует, так как ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности одновременно по окружностям (одно из условия применения).

Для решения задачи требуется предварительно выполнить графический анализ заданных проекций предмета.

А. Выбираем для решения задачи способ вспомогательных концентрических сфер, так как здесь соблюдены три графических условия его применения:

• – пересекаются поверхности вращения – прямой круговой конус и тороид  (самопересекающийся тор);
• – общая плоскость симметрии геометрических тел β(β_Н) является фронтальной плоскостью уровня;
• – оси поверхностей пересекаются в точке O(O») – центр всех вспомогательных сфер.

Б. Решение задачи, то есть введение вспомогательных сфер-посредников начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки A(A»), B(B»), C(C») и D(D») пересечения фронтальных очерков принадлежат линии пересечения.

В. Определяем границы введения сфер – это точки C(C») и D(D») пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел. Построить проекции точек линии пересечения, выполнив действия предложенного графического алгоритма I.

1-е действие. Ввести на фронтальной проекции вспомогательную сферу-посредник минимального радиуса R_1min, с центром в точке O(O»), вписанную в тороид (минимальная сфера-посредник должна вписываться в одну из поверхностей, а с другой поверхностью – пересекаться).

2-е действие. Построить проекции вспомогательных окружностей пересечения двух пар соосных поверхностей, образованных сферой-посредником с каждой заданной поверхностью:

• – первая пара соосных поверхностей – сфера-посредник и тороид – имеют горизонтальную общую ось i₁» и пересекаются по окружности касания n₁«, которая проецируется в прямую линию (совпадает с осью конуса);
• – вторая пара соосных поверхностей – сфера-посредник и конус имеют вертикальную общую ось вращения i₂» и пересекаются по двум вспомогательным окружностям m₁«, которые проецируются в прямые линии;

3-е действие. Определить точки 1(1₁«) пересечения построенных проекций вспомогательных окружностей m₁» и n₁«, которые принадлежат искомым линиям пересечения (по две пары совпадающих точек).

!!! Здесь имеет место случай полного проницания (II случай), и линия пересечения распадается на две замкнутые кривые.

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия основного графического алгоритма, введя вспомогательные сферы большего радиуса R₂ и R₃ с тем же центром в точке О(О»), и построить следующие пары точек 2(2″) и 3(3″).

4.1. Достроить горизонтальные проекции построенных точек линии пересечения по принадлежности параллелям конуса.

4.2. Соединить проекции построенных точек на фронтальной и горизонтальной проекциях предмета плавными кривыми линиями с учетом их видимости на проекциях (только линия пересечения D’-3′-2′-1₁‘-C’ будет невидимой на горизонтальной проекции предмета).

5-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданных проекциях предмета с учетом их относительной видимости.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер

Наименование способа говорит о том, что вспомогательные сферы имеют разные центры, которые и нужно определять в процессе построения проекций линии пересечения поверхностей.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер для построения линии пересечения поверхностей возможно применять при наличии трех следующих графических условий:

1. Пересекаются:

• – поверхности вращения 4-го порядка, т. е. торовые поверхности – открытый или закрытый тор;
• – поверхности эллиптических цилиндра и конуса, имеющие круговые сечения.

2. Общая плоскость симметрии поверхностей является плоскостью уровня.

3. Оси поверхностей пересекаются или скрещиваются.

Поскольку в этом способе центр каждой вспомогательной сферы нужно определять графическими построениями, первое действие графического алгоритма для построения проекций точек линии пересечения дополняется построением центра каждой вспомогательной сферы.

Порядок графических действий для построения линий пересечения способом вспомогательных эксцентрических сфер показан на двух примерах.

На рис. 8.14 показан пример построения проекции линии пересечения профильно-проецирующего цилиндра с поверхностью четвертой части открытого тора. Задача решается способом вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три необходимых условия для применения этого способа:

• – одна из пересекающихся поверхностей – открытый тор, имеющий круговые сечения во фронтально-проецирующих плоскостях, проходящих через его ось вращения i»_m;
• – общая плоскость симметрии поверхностей – фронтальная плоскость уровня (подразумевается), поэтому точка A(A») пересечения фронтальных очерков принадлежит искомой линии пересечения;
• – оси поверхностей i_ц и i_m скрещиваются.

Построение проекций точек линии пересечения поверхностей выполняется на заданной фронтальной проекции предмета по предлагаемому графическому алгоритму II.

Графический алгоритм II.

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительно следующие графические действия.

1.1. Задать произвольное круговое сечение поверхности тора фронтально-проецирующей плоскостью α_V1, проходящей через его ось i»_m; окружность t₁-t₂, (ее проекция – прямая линия t»₁-t»₂) – это заданная линия пересечения тора с искомой вспомогательной сферой, центр которой должен лежать на перпендикуляре к проекции этой окружности – прямой t»₁-t»₂ (хорда окружности, в которую проецируется вспомогательная сфера).

1.2. Провести к прямой t»₁-t»₂ через ее середину перпендикуляр k» и на его пересечении с осью цилиндра i»_ц определить центр первой вспомогательной сферы – точку O»₁.

1.3. Провести окружность – проекцию вспомогательной сферы-посредника – с центром в точке O»₁, радиус которой R_сф.1 определяется расстоянием от точки О»₁ до одной из крайних точек t»₁ или t»₂ прямой t»₁-t»₂.

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения построенной сферы-посредника с поверхностью соосного ей цилиндра – это прямая s»₁-s»₂, проходящая через точки s»₁ и s»₂ пересечения очерков цилиндра и сферы-посредника.

3-е действие. Определить на пересечении построенных проекций заданной окружности t»₁-t»₂ и построенной окружности s»₁-s»₂ совпадающие точки 1(1″), принадлежащие искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Дополнительные действия:

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма и построить достаточное количество точек линии пересечения. В данном примере дополнительными сечениями вспомогательных плоскостей α_V2 и α_V3 и вспомогательными сферами R_сф.2 и R_сф.3 с центрами O₂ и O₃ построены точки 2 и 3, принадлежащие линии пересечения. Причем в плоскости α_V3 окружности сечений совпадают и совпадающие точки 3 делят существование этих окружностей на две половины – верхняя часть принадлежит цилиндру, а нижняя – тору.

5-е действие. Соединить на фронтальной проекции точки A»-1″-2″-3″ линии пересечения плавной видимой кривой.

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

На рис. 8.15 показан пример построения линии пересечения наклонного кругового цилиндра Ц₁ с осью i»₁ и наклонного эллиптического цилиндра с осью i»₂, у которого есть круговые сечения в горизонтальных плоскостях уровня.

Выполнить графический анализ условия и исключить нерациональный способ решения задачи.

Рассмотренный способ вспомогательных секущих плоскостей применять не следует, так как на заданной фронтальной проекции ни одна плоскость уровня не пересекает поверхности одновременно по окружностям или образующим (одно из условий применения).

Рассмотренный способ вспомогательных концентрических сфер применять нельзя, так как проведенные сферы с центром в точке пересечения осей образуют соосные пары только с одной заданной поверхностью Ц₁ (одно из условий применения).

Выбираем для решения задачи способ вспомогательных эксцентрических сфер, так как здесь соблюдены три условия его применения:

• – пересекаются наклонный круговой цилиндр Ц₁ и эллиптический цилиндр Ц₂ (поверхность не вращения);
• – общая плоскость симметрии поверхностей является фронтальной плоскостью уровня (подразумевается);
• – оси поверхностей i₁ и i₂ – пересекаются.

Решение задачи, то есть введение сечений цилиндра Ц₂ (параллельных заданному) горизонтальными плоскостями уровня α, начинаем на фронтальной проекции предмета, так как общая плоскость симметрии является фронтальной плоскостью уровня и точки A(A») и B(B») пересечения фронтальных очерков принадлежат линии пересечения.

Определяем границы введения сечений цилиндра Ц₂ – это точки A(A») и B(B») пересечения фронтальных очерков пересекающихся геометрических тел.

Построить проекции точек линии пересечения поверхностей, выполнив действия предложенного графического алгоритма II.

Графический алгоритм II.

1-е действие. Ввести вспомогательную сферу, выполнив предварительные графические действия.

1.1. Задать произвольное круговое сечение эллиптического цилиндра Ц₂ горизонтальной плоскостью α_V1 – прямую t₁-t₂. Эта заданная линия t₁-t₂ – окружность пересечения эллиптического цилиндра с искомой вспомогательной сферой, центр которой лежит на перпендикуляре, проведенном из середины этой прямой.

1.2. Провести к прямой t₁-t₁ через ее середину перпендикуляр k» и на пересечении с осью i₁ кругового цилиндра Ц₁ определить точку О₁ – центр первой вспомогательной сферы-посредника.

1.3. Провести окружность сферы-посредника радиусом R_сф.1, который определяется расстоянием от точки О»₁ до одной из точек t»₁ или t»₂ прямой t₁-t₂.

2-е действие. Построить проекцию окружности пересечения сферы посредника с соосной ей поверхностью кругового цилиндра Ц₁ – это прямая s₁-s₂, проходящая через точки пересечения очерков сферы и цилиндра.

3-е действие. Определить на пересечении заданной окружности t₁«-t₂» и построенной окружности s₁«-s₂» совпадающие точки 1(1″), принадлежащие искомой линии пересечения.

Дополнительные действия.

4-е действие. Повторить действия графического алгоритма II и построить проекции точек 2(2″);

5-е действие. Соединить на фронтальной проекции точки А»-1″-2″-B» линии пересечения плавной видимой кривой.

6-е действие. Оформить очерки поверхностей на заданной проекции.

Структуризация материала восьмой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 8.16 (лист 1). На последующих листах 2–5 приведены иллюстрации к этой схеме для быстрого визуального закрепления изученного материала при повторении (рис. 8.17–8.20).

Пересечение поверхностей:

Частный случай 1. Обе пересекающиеся поверхности проецирующие

Частный случай 2. Одна из двух пересекающихся поверхностей проецирующая

Частный случай 3. Соосные поверхности вращения (с общей осью i)

Частный случай 4. Пересечение поверхностей вращения 2-го порядка, описанных вокруг сферы

Общие случаи пересечения поверхностей:

1. Способ вспомогательных секущих плоскостей

а. Одностороннее касание (две замкнутые пространственные линии пересечения касаются в одной точке К)

Графический алгоритм:

1. Ввести плоскость-посредник (горизонтальная плоскость α/α_V3).
2. Построить линии пересечения плоскости-посредника с каждой поверхностью (окружности радиусом R_3К и R_3m).
3. Определить точки (3), принадлежащие искомой линии пересечения (на пересечении построенных окружностей радиусами R_3К и R_3m).
4. Повторить алгоритм необходимое число раз.
5. Способ вспомогательных концентрических сфер

б. Частичное врезание (линия пересечения — замкнутая пространственная линия)

Графический алгоритм:

1. Ввести сферу-посредник (R_1min минимальная вписанная сфера-посредник)
2. Построить линии пересечения сферы-посредника с каждой поверхностью (касательная окр.1 и окр.1, пересечение соосных поверхностей)
3. Определить точки 1, принадлежащие искомой линии пересечения (на пересечении построенных проекций окружностей 1)
4. Повторить алгоритм необходимое число раз, увеличивая радиусы сфер-посредников
5. Способ вспомогательных эксцентрических сфер

в. Полное проницание (линия пересечения распадается на две замкнутые пространственные линии)

Графический алгоритм:

I. Предварительные действия для определения центра вспомогательной сферы-посредника

1. Задать проекцию окружности (прямая S_1-S₂), по которой вспомогательная плоскость α/α_V1) пересекает поверхность открытого тора.

2. Провести через середину этой проекции перпендикуляр к ней до пересечения с осью конуса — на пересечении определяется центр первой сферы-посредника О₁(О»).

II. Основные действия

3. Ввести сферу-посредник радиусом R₁ с центром в т. О₁(О₁«).

4. Построить линии пересечения сферы-посредника с каждой поверхностью (заданная окружность S₁ -S₂ и две построенные окружности n₁ и n₂).

5. Определить точки 1₁» и 1₂», принадлежащие искомой линии пересечения (на пересечении линий S₁ -S₂ (S₁«-S₂«) и n₁» и n₂».

Образец взаимного пересечения поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей — это геометрическое место точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям.

Общим способом построения точек, принадлежа­щих кривой взаимного пере­сечения поверхностей, является способ вспомогательных поверхностей посредников. Этот способ заключается в следующем.

Пусть даны некоторые взаимно пересекающиеся по­верхности (рис. 5.39).

Введем плоскость-посредник Р, которая пересечет поверхности по линиям Пересечение линий даст точки принадлежащие кривой пересечения. Применяя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения. В качестве посредников наиболее часто применяют плоскости и шаровые поверхности — сферы. В зависимости от вида поверхностей посредников можно выделить следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей:

• а) способ вспомогательных секущих плоскостей;
• б) способ вспомогательных сфер.

При построении линии взаимного пересечения поверхностей не­обходимо сначала строить опорные точки кривой. Эти точки дают пределы линии пересечения. Между ними и следует определять промежуточные (случайные) точки.

КОМПАС-3D v21

Выполнение булевой операции

Для выполнения булевой операции служит команда Булева операция .

• Инструментальная область: Твердотельное моделирование — Элементы тела — Булева операция

• Главное меню: Моделирование — Булева операция

• Найдите и запустите команду с помощью поля поиска в строке Главного меню

1. Укажите тела, участвующие в операции, в графической области или в Дереве построения.
По умолчанию первое из указанных тел заносится в поле Базовый объект , а остальные — в поле Модифицирующие объекты .

2. Задайте тип булевой операции с помощью группы кнопок Результат на Панели параметров:

Объединение — тела объединяются в одно новое тело,

Вычитание — из базового тела удаляется объем, занимаемый модифицирующими телами,

Пересечение — из тел удаляются части, оказавшиеся вне объема, общего для базового и модифицирующих тел; пересечения модифицирующих тел друг с другом не учитываются, т.е. их общий объем, если он есть, удаляется.

Объединение тел возможно, если они пересекаются или имеют общую поверхность, а вычитание и пересечение возможны, только если тела пересекаются.

3. Чтобы базовое и/или модифицирующие тела булевой операции после ее завершения остались в модели, включите опцию Сохранить копию базового объекта и/или Сохранить копию модифицирующих объектов .
При отключенных опциях базовое и модифицирующие тела будут удалены после завершения операции.

4. При необходимости задайте наименование операции в секции Свойства на Панели параметров.

5. Для завершения операции нажмите кнопку Создать объект .

6. Если в результате операции образуется тело из нескольких частей, то после выполнения операции запускается процесс изменения набора частей. Оставьте нужные части модели (см. раздел Выбор частей, которые следует оставить).

В графической области появляется тело — результат операции, а в Дереве построения — соответствующая ему пиктограмма .

7. Для завершения работы команды нажмите кнопку Завершить .

Если было включено сохранение копий исходных тел — базового и/или модифицирующих, — то в графической области, кроме тела-результата, отображаются также копии исходного тела/тел. В Дереве модели копии тел являются подчиненными объектами булевой операции. Вы можете управлять их показом с помощью пиктограмм и .

В случае, если исходные тела принадлежали компонентам или деталям-заготовкам, то они не становятся в Дереве подчиненными объектами булевой операции, а остаются на своих прежних местах; для управления их видимостью используются отображающиеся там же пиктограммы.

© ООО «АСКОН-Системы проектирования», 2022. Все права защищены. | Единая телефонная линия: 8-800-700-00-78

Источник

КОМПАС-3D v21

Булевыми операциями называют операции объединения , пересечения и вычитания тел . Тела, участвующие в операции, могут принадлежать как самой модели, так и ее компонентам. Результатом булевой операции является новое тело, принадлежащее текущей модели. В дальнейшем к нему можно применять любые операции, в том числе булевы. Тела, участвовавшие в булевой операции, могут быть оставлены в модели или удалены из нее.

Примеры булевой операции показаны на рисунке.

а) тела, участвующие в операции, б) объединение тел, в) вычитание тел, г) пересечение тел.

1. Создайте первое тело — тело, которое будет определять форму детали, и скройте его.

2. Создайте второе тело — тело, которое будет определять форму полости. Выполняя операции по построению второго тела, используйте способ формирования области применения операции — Автоопределение (включен по умолчанию). При этом в область применения этих операций будет входить только второе тело.

3. Включите показ первого тела. При этом область применения операции для второго тела не изменится — все операции, выполненные в п.2, будут по-прежнему относиться только ко второму телу.

4. Выполните булеву операцию вычитания второго тела из первого.

© ООО «АСКОН-Системы проектирования», 2022. Все права защищены. | Единая телефонная линия: 8-800-700-00-78

Источник

Ошибка — геометрия не поддерживает булевы операции

Моделирую бандаж лопатки турбины. Строю по координатам точки, точки соединяю линиями, на линии натягиваю плоскую поверхность и эту поверхность вращаю на заданный угол. В итоге получаю заготовку бандажа лопатки, но мне ещё нужно построить стыки бандажей соседних лопаток не ровными, а косыми — для этого требуются булевы операции.

И вот тут я сталкиваюсь с такой проблемой — когда применяю булеву операцию (причём любую), мне АНСИС выдаёт ошибку:

*** ERROR *** CP = 52.416 TIME= 12:02:40 Current ANSYS geometry failed to support boolean operations. See list error window for details

И ещё в окне «Xconvt Data Input Errors» пишет:

The following entities do not support booleans. Use the SPLOT command to examine bad surfaces/areas Format for SPLOT is SPLOT,NA1,NA2,NINC,MESHSIZE Volume Shell Area Loop Line 3 1 55 1 — — — 56 1 132

Ну, посмотрел я на них через SPLOT — ну, поверхности как поверхности. Ничего особо выдающегося.

Причём когда строю хвост лопатки, то совершаю практически все такие же действия, но там всё гладко.

BTOL крутил разный — всё равно одно и то же.

Вот скрин моего бандажа:

Подскажите, пожалуйста, если кто-то знает — когда АНСИС выдаёт такие ошибки и с чем они могут быть связаны? Я их и раньше встречал, но никогда не мог понять, что служит причиной.

Источник

Команда «3B» — Создать булеву операцию

3D Модель → Операции → Булева

Булева операция предназначена для создания нового тела на основе двух или более уже существующих тел. В результате выполнения операции создаётся новое тело, являющееся комбинацией исходных тел.

Основные понятия. Возможности операции

Существует три типа булевой операции:

● Сложение . Результатом выполнения операции является тело, объединяющее в себе все части тел, участвующих в операции.

● Вычитание . Результатом выполнения операции является тело, полученное вычитание одного тела из другого.

● Пересечение . Результатом выполнения операции является тело, полученное пересечением тел, участвующих в операции и состоящее из общих частей этих тел.

Операнды булевой операции

Тела, участвующие в булевой операции, называются » Операндами » булевой операции. Они делятся на первые и вторые операнды. Тела, над которыми выполняется преобразования, называются » Первыми операндами » булевой операции. Тела, с помощью которых выполняется преобразование, называются » Вторыми операндами «. В зависимости от того, в качестве какого операнда были выбраны тела, получаются различные результаты булевой операции.

Булева операция может также выполняться и между набором тел, часть которых может быть выбрана как первые операнды, а другие тела как вторые. В процессе выполнения такой операции происходит объединение всех первых операндов в одно тело и всех вторых операндов в другое тело. Затем выполняется выбранная булева операция между этими телами. В результате получается одно многокомпонентное тело.

Результаты булевых операций

В качестве операндов могут быть выбраны как твёрдые, так и листовые тела. Возможность выбора различных комбинаций операндов и задание параметров позволяет формировать различные результаты булевых операций.

Следует заметить, что в некоторых ситуациях, при сочетании определённых типов операндов в булевых операциях, невозможно получить результат.

Ниже рассмотрим основные комбинации операндов и результаты выполнения операции.

Выбор типа результирующего тела

В результате булевых операций в некоторых случаях может быть сформировано как твёрдое, так и листовое тело. Пользователь может выбрать тип результирующего тела при помощи параметра » Результат операции «.

Эта опция носит рекомендательный характер и позволяет выбрать при прочих равных условиях тот или иной тип результирующего тела. Если невозможно в результате выполнения операции сформировать выбранный тип тела, то значение этого параметра будет игнорироваться.

Интерпретация листового тела

Листовое тело, использующееся в булевой операции в качестве операнда, может быть определено в команде как непосредственно листовое тело, либо как полупространство. В зависимости от интерпретации и того, в качестве какого операнда выбирается тело, будут получаться разные результаты.

Если операнд — листовое тело был определён как полупространство, то в сцене будут отображены векторы нормалей к поверхности листового тела. Направление этих векторов указывает, какое полупространство выбрано и повлияет на результат выполнения операции.

Результаты булевой операции «Сложение» при сочетании различных типов операндов:

Твёрдое тело + Твёрдое тело

Если в качестве первого и второго операнда используются твёрдые тела, то в результате выполнения операции будет сформировано одно тело, объединяющее в себе все части тел, участвующих в операции.

Листовое тело + Твёрдое тело

В результате выполнения операции будет сформировано листовое тело, переставляющее собой «продавливание» листового тела частью твёрдого тела. В зависимости от выбранного полупространства формируется «продавливание» либо нижней, либо верхней части.

Следует отметить, что листовое тело должно полностью пересекать твёрдое тело.

Твёрдое тело + Листовое тело

Если в качестве первого операнда было выбрано твёрдое тело, а в качестве второго – листовое, то в результате выполнения операции «Сложение» по умолчанию создается твёрдое тело. Грани листового тела будут формировать дополнительный объем для твердого тела.

Листовое тело в этом случае должно быть определено в команде как полупространство.

Следует отметить, что для формирования такого рода булевой операции необходимо, чтобы листовое тело при сложении с твёрдым телом замыкало объём. В противном случае невозможно получить результат операции.

При выборе листового тела следует обратить внимание на направление векторов нормалей. При определённом направлении нормалей может получиться некорректное результирующее тело. В этом случае нужно выбрать другое полупространство в параметре » Интерпретация операнда «.

Листовое тело + Листовое тело

В результате сложения двух листовых тел получается листовое тело. Для успешного создания операции необходимо, чтобы грани листовых тел либо имели общее ребро, либо совпадали на определённом участке. Эта возможность является схожей с операции «Сшивка». Отличие заключается в том, что булева операция » Сложение » не удаляет зазоры между телами, а » Сшивка » пытается создать новую непрерывную поверхность.

Результаты булевой операции «Вычитание» при сочетании различных типов операндов:

Твёрдое тело — Твёрдое тело

Результатом выполнения булевой операции «Вычитание» одного твёрдого тела из другого будет тело, переставляющее собой первый операнд, из которого удаляется объём второго операнда.

При создании булевой операции » Вычитание » не допускается такой ситуации, когда результирующее тело будет иметь области со стенками нулевой толщины. При этом нарушается топология модели.

Листовое тело — Твёрдое тело

При вычитании твёрдого тела из листового, в листовом теле будет создано отверстие по форме второго операнда – твёрдого тела.

Твёрдое тело — Листовое тело (полупространство)

В результате вычитания листового тела из твёрдого остаётся часть твёрдого тела, отсечённая листовым телом. При этом листовое тело должно быть определено как полупространство. В зависимости от выбранного полупространства остается либо верхняя, либо нижняя часть твёрдого тела. Этот тип булевой операции является аналогом операции «Отсечение».

Результаты булевой операции «Пересечение» при сочетании различных типов операндов:

Твёрдое тело — Твёрдое тело

Результатом пересечения твёрдых тел является тело, представляющее собой общую часть всех операндов.

Листовое тело (полупространство) — Листовое тело (полупространство)

Если листовые тела совпадают на определённом участке, то в результате выполнения булевой операции «Пересечение» остается общая их часть.

Листовое тело — Твёрдое тело

Если в качестве первого операнда было выбрано листовое тело, а в качестве второго – твёрдое, то в результате выполнения булевой операции «Пересечение» будет сформировано листовое тело, представляющее собой общую часть двух операндов.

Твёрдое тело — Листовое тело (полупространство)

В результате выполнения булевой операции «Пересечение» листового тела, интерпретированного как полупространство, и твёрдого тела останется часть твёрдого тела, отсечённая листовым телом. Результат выполнения этой операции похож на результат выполнения булевой операции «Вычитания» листового тела (полупространства) из твёрдого тела. Отличие в том, что в результате выполнения операции «Пересечение» остаётся другая часть твёрдого тела. При этом порядок выбора операндов не влияет на результат.

Булевы операции между листовыми телами (полупространствами)

Одной из возможностей применения булевых операций между листовыми телами является создание углов. Для этого листовые тела в команде должны пересекаться и быть определены как полупространства. В зависимости от направления нормалей к поверхностям листовых тел и типа применяемой булевой операции получаются различные результирующие листовые тела. При этом сохраняются направления нормалей на результирующем теле.

В случае, когда одно листовое тело не пересекает другое полностью, булева операция не сложится. Для исправления ситуации в параметрах булевой операции предусмотрена возможность продления ребер первого или второго операнда до ближайшего ребра или границы тела. В этом случае линия пересечения этих двух тел будет продлена по касательной до выбранного ребра или границы одного из операндов.

Глобальные и локальные булевы операции

Если в качестве операндов выбираются листовые или твёрдые тела, то такие типы булевых операций будем называть » Глобальными «. При создании такой булевой операции система сама определяет грани тел, участвующие в операции, и их пересечения. Если в булевой операции участвуют геометрически сложные тела или используется достаточно большое количество операндов, то поиск всех пересечений может сильно замедлить выполнение команды.

Помимо «Глобальной» булевой операцией в T-FLEX есть понятие » Локальной » булевой операции. В отличие от «Глобальной» булевой операции, где в качестве операндов выбираются только тела, в «Локальной» булевой операции помимо тел выбираются грани операндов. Выбрать грани операндов можно в параметрах операции на закладке «Грани». В некоторых случаях использование «Локальной» булевой операции дает значительный выигрыш во времени регенерации модели по сравнению с «Глобальной» булевой операцией, т.к. в результате выполнения операции будут искаться пересечения только указанных граней. Например, если нужно проделать отверстие в достаточно сложном теле и известно, что отверстие пересекает небольшое количество граней, то имеет смысл указать эти грани в параметрах операции.

Следует заметить, что нужно внимательно выбирать грани для «Локальной» булевой операции. В случае неправильно выбранных граней может сформироваться некорректное тело.

Выбор отдельных граней операндов в » Локальной » булевой операции с включенным параметром » Обрезать по граням первых операндов » позволяет формировать такие тела, как показано на рисунке ниже. При этом сначала будут определены линии пересечения граней операндов, а затем по этим линиям пересечения и границам граней первых операндов будут сформированы замкнутые циклы для формирования булевой операции.

В некоторых случаях бывает удобно применить опцию » Использовать соседние грани » для первых или вторых операндов. Достаточно выбрать одну грань операнда, чтобы система сама доопределила соседние грани таким образом, чтобы линии пересечения граней операндов образовали замкнутые циклы. В этом случае при изменении количества граней, составляющий замкнутый цикл, в случае модификации операндов результат булевой операции останется корректным.

Выборочные булевы операции

В результате пересечения граней операндов образуются общие рёбра. Эти рёбра разделяют тела операндов на части. Части операндов могут быть внутренними (общие части операндов) и наружными. При создании булевой операции есть возможность указать наружные части операндов, которые будут оставлены в результирующем теле или наоборот исключены из него.

Часть операнда определяется топологическими элементами: вершинами, рёбрами или гранями. Для выбора части операнда достаточно указать в параметрах операции на закладке » Части операндов » один из этих элементов. На рисунке ниже показана возможность применения выборочной булевой операции «Сложение», при выполнении которой в результирующем теле остаются только выбранные части второго операнда.

В некоторых ситуациях выбранный топологический элемент явно не определяет нужную часть. Например, как показано на картинке ниже, выбранная грань принадлежит нескольким наружным частям операнда. Для того чтобы однозначно определить нужную часть надо построить 3D узел на этой грани и при помощи опции » Выбор точки » выбрать этот 3D узел. При этом грань выбирать не нужно.

Задание соответствий элементов

В тех случаях, когда операнды имеют совпадающие участки, в команде предусмотрена возможность дополнительного определения топологического соответствия областей этих операндов. По этой информации команда выберет нужный алгоритм формирования булевой операции.

Эта возможность позволяет:

1. Ускорить процесс пересчета булевой операции за счет того, что указан конкретный тип контакта.

2. В некоторых случаях без указания соответствия невозможно получить результат булевой операции. Например, при контакте сплайновой и аналитической поверхностей (булева операция между цилиндром и гранью спирали на картинке ниже).

В команде предусмотрены четыре типа соответствия:

● Полное совпадение – границы топологических элементов совпадают с заданной точностью.

● Включение – границы второго элемента лежат в пределах границ первого элемента.

● Частичное совпадение – границы одного элемента частично совпадают с границами другого элемента.

● Проецирование – совпадение отпечатков границ топологических элементов.

В таблице ниже представлено описание типов соответствия для различной топологии операндов:

Соответствие может быть точным, либо приближенным. При точном соответствии предполагается, что операнды имеют только описанные контакты и других совпадений или пересечений нет. Если установить приближенное соответствие, то кроме указанных контактов система будет искать другие пересечения операндов. Выполнение этого метода занимает больше времени по сравнению с точным методом, зато в некоторых случаях является единственно возможным для получения результата булевой операции.

На рисунке ниже показано задание соответствия в булевой операции «Сложение» между полусферой и конусом, имеющими совпадающие основания. Если будет задано соответствие по совпадению граней основания и выбран точный метод, то в этом случае невозможно будет получить результат булевой операции, т.к. при пересечении операндов есть еще одно общее ребро, не описанное в соответствиях. В этом случае единственно возможным будет приближенный метод, при реализации которого будет найдено это пересечение.

Еще одной возможностью булевых операций является сглаживание новых ребер. Под новыми ребрами подразумеваются ребра, полученные в результате пересечения граней операндов. При изменении геометрии операндов, уменьшении или увеличении числа новых ребер, система будет автоматически это отслеживать и формировать сглаживание. В команде можно выбрать тип сглаживания: скругление или фаску и задать радиус сглаживания.

Отсутствие одного из операндов

При создании булевой операции можно установить параметр » Допускается возможность отсутствия одной из исходных операций «. Этот прием часто применяется в параметрических моделях, когда для определённого исполнения модели нужно исключить один из элементов. Как показано на рисунке ниже гайка может иметь два исполнения: с проточкой и без неё. Для того чтобы реализовать эти исполнения в одной модели можно подавить второй операнд при этом будут сохранены все последующие операции, созданные на основе булевой (в примере это сохранение косметической резьбы на грани булевой операции).

Если этот параметр выключен, то при подавлении операнда будет выдаваться ошибка создания булевой операции.

Создание булевой операции

Для работы в команде используются совместно автоменю и окно свойств. Они работают синхронно и дополняют друг друга. Состояние автоменю зависит от стадии задания операции, от назначения и типа выбираемых объектов.

Для создания операции нужно выполнить следующие действия:

1. Выбрать булевы операнды.

2. Выбрать тип булевой операции.

3. Выбрать части операндов для формирования выборочной булевой операции (не обязательно).

4. Задать соответствия элементов (не обязательно).

5. Задать дополнительные параметры (при необходимости).

6. Задать параметры сглаживания (не обязательно).

7. Подтвердить создание операции.

Основные параметры операции

Выбор операндов для глобальной булевой операции

Для выбора операндов глобальной булевой операции используется следующая опция:

Выбрать булевы операнды

При этом в автоменю становятся доступными опции:

Выбрать первое тело

Выбрать второе тело

При активизации одной из этих опций фокус ввода перемещаемся в соответствующее окно выбора первых или вторых операндов в окне свойств. И на оборот, переключаясь между окнами выбора операндов в окне свойств, в автоменю активизируется соответствующая опция. Выбрать тела в качестве первых или вторых операндов можно непосредственно в 3D сцене или в окне дерева 3D модели. Тела первых операндов подсвечиваются в сцене зеленым цветом, тела вторых операндов – желтым. Выбранный в окне свойств операнд подсвечивается в сцене синим цветом.

Для удаления любого операнда из списка нужно после его выбора в окне » Свойства » нажать кнопку [ Удалить ].

Для отмены выбора всех операндов служит опция:

Отменить выбор всех операндов

После создания булевой операции тела операндов будут удалены из сцены и останется только результирующее тело. Для каждого операнда может включить параметр » Оставлять в сцене «. В этом случае после создания операции тело операнда с включенным этим параметром будет оставлено в сцене.

Если в качестве операнда выбирается листовое тело, то нужно задать интерпретацию этого тела. Возможны три варианта интерпретации листового тела: непосредственно как листовое тело, либо как верхнее или нижнее полупространство. В зависимости от того, как оно определяется системой, будут сформированы различные результаты булевой операции. Определить листовые тела можно при помощи выбора соответствующих значений в выпадающих списках параметров интерпретации операндов.

Выбор операндов для локальной булевой операции

Для перехода в режим выбора граней для создания локальной булевой операции можно воспользоваться опцией автоменю:

Выбрать локальные грани

Также для активизации этого режима можно переключиться на закладку » Грани » в окне » Свойства «.

При этом в автоменю становятся доступными следующие опции:

Выбрать локальные грани первого операнда

Выбрать локальные грани второго операнда

После выбора операндов можно, при помощи указанных опций автоменю или перевода фокуса ввода в окна закладки » Грани «, выбирать грани тел в сцене для создания локальной булевой операции. Во время создания булевой операции можно не выбирать операнды, а сразу переключиться в режим выбора граней. При этом тела, грани которых выбраны, будут автоматически добавлены как операнды на соответствующую закладку в параметрах операции. Маркировка граней первых и вторых операндов аналогична выбору операндов-тел. Для удаления грани нужно выбрать её в списке на закладе » Грани » и нажать кнопку [ Удалить ]. В некоторых случаях необходимо включить параметр » Обрезать по граням первых операндов » для формирования правильного результата операции.

Для отмены выбора всех локальных граней служит опция:

Отменить выбор локальных граней

При создании локальной булевой операции могут быть использованы грани, соседние с выбранной гранью. Для этого нужно выбрать соответствующее значение в выпадающем списке параметра » Использовать соседние грани «.

Выбор типа булевой операции

Выбор типа операции осуществляется либо с помощью параметра » Тип операции » в окне » Свойства «, либо с помощью следующих опций автоменю:

Сложение

Вычитание

Пересечение

При первом выполнении команды булевой операции после запуска программы в автоменю автоматически устанавливается тип булевой операции » Сложение «. При повторном вызове команды создания булевой операции в нажатом состоянии будет кнопка, соответствующая типу, выбранному при последнем использовании булевой операции.

Для создания выборочной булевой операции служит следующая опция:

Выбрать части операндов

Также для активизации этого режима можно переключиться на закладку » Части операндов » в окне » Свойства «. При этом в автоменю становятся доступными следующие опции:

Выбрать элемент, определяющий часть операнда

Выбрать точку, определяющую часть операнда

При помощи этих опций можно выбрать элементы, определяющие части операндов. Имена выбранных элементов будут добавлены в список на закладке » Части операндов » в окне » Свойства «. На этой же закладке можно выбрать действие для выбранных частей операндов: оставлять их в результирующем теле или исключать. Это действие устанавливается для всех выбранных частей операндов.

Для отмены выбора частей операндов служит опция:

Отменить выбор элементов, определяющих части операндов

Задание соответствия элементов

Для задания соответствия элементов служит опция:

Задание соответствий элементов

Также для активизации этого режима можно переключиться на закладку » Соответствия » в окне » Свойства «. При этом в автоменю становятся доступными следующие опции:

Выбрать первый элемент

Выбрать второй элемент

Отмена выбора всех элементов

При помощи этих опций элементы для задания соответствия выбираются попарно. Имена выбранных элементов отображаются на закладке » Соответствия » в окне » Свойства «. Для всех пар элементов может быть установлен точный или приближенный метод. Тип соответствия выбирается из списка параметра » Тип » на этой закладке.

Следует отметить, что набор типов соответствия в этом списке может быть разным в зависимости от сочетания топологических элементов в паре (см. таблицу в параграфе » Задание соответствия элементов «).

На этой закладке может быть установлена точность соответствия.

Предварительный просмотр результатов булевых операций

Для предварительного просмотра результата булевой операции, а также изменений, вносимых булевой операцией, необходимо воспользоваться опцией просмотра автоменю или аналогичной кнопкой окна свойств:

Предварительный просмотр результата операции

Предварительный просмотр изменений, вносимых операцией

Дополнительные параметры операции

Продолжение рёбер операндов

Если в команде в качестве операндов используются листовые тела, определённые как полупространства, то в этом случае для формирования результата булевой операции может возникнуть необходимость продолжения ребер пересечения операндов. Для этого нужно выбрать тип объекта, до которого продлевать рёбра первого или второго операнда. Это можно сделать при помощи соответствующих дополнительных параметров.

Выбор типа результирующего тела

Если в результате создания булевой операции может быть сформировано как твёрдое, так и листовое тело, то нужный тип можно выбрать при помощи опции » Результат операции » в дополнительных параметрах операции. При значении » По умолчанию » командой будет создан приоритетный тип результирующего тела.

Как уже отмечалось ранее, эта опция носит рекомендательный характер. В случае невозможности формирования выбранного типа результирующего тела, значение этого параметра будет игнорироваться.

Если в качестве одного из операндов используется 3D массив, то, включив параметр » Копирование по образцу «, можно значительно сократить время выполнения булевой операции.

Возможность отсутствия одного из операндов

Если в создаваемой булевой операции включить параметр » Допускается отсутствие одной из исходных операций «, то в дальнейшем можно будет подавить один из операндов и при этом сохранить результат булевой операции.

Для включения режима сглаживания новых рёбер, полученных пересечением граней первых и вторых операндов, нужно включить параметр » Сгладить новые рёбра «. После этого становится доступна группа параметров, позволяющая выбрать тип сглаживания (» Скругление «, » Фаска «) и величину сглаживания (параметр » Радиус «).

Для определения материала, который применяется к результату булевой операции, используется комбинация параметров. Помимо общих для всех операций параметров материала на закладке “ Общие ” (параметры “ Источник ”, “ Основной ”, “ Покрытие ”) учитывается также параметр назначения материала для новых граней, которые создаются в результате булевой операции. Для выбора материала используется опция « Материал новых граней ».

Может быть выбрано одно из трех значений:

● “ Материал 1-го операнда ”. В этом случае для новых граней будет назначен основной материал, либо материал покрытия, если он задан, в соответствии с этими параметрами первого операнда. Если первых операндов несколько и они с разными материалами, то на новых гранях будет сохранён материал того операнда, который участвовал в формировании этих граней.

● “ Материал 2-го операнда ”. При этом значении материал граней второго операнда, которые участвовали в формировании новых граней, перенесется на эти новые грани. Это может быть и основной материал, и материал покрытия, если он задан, и даже материал операции назначения материала. Например, в результате булевой операции «Вычитание»между первым операндом с материалом сталь и вторым операндом с материалом черный пластик на созданных гранях результирующего тела будет наложен материал черный пластик. Если вторых операндов несколько и они с разными материалами, то на новых гранях будет сохранён материал того операнда, который участвовал в формировании этих граней.

● “ Основной материал 1-го операнда ”. Действие этого параметра аналогично первому параметру (“ Материал 1-го операнда ”), за исключением случая, когда задан материал покрытия, материал покрытия на новых гранях не применяется. Например, если в детали с основным материалом «Сталь» и с покрытием «Медь» с помощью булевой операции проделать отверстие, то внутри оно будет выглядеть стальным в соответствии с основным материалом.

Особенности работы с булевыми операциями

Отображение булевой операции в окне «3D Модель»

После создания булевой операции она помещается в папку «Булевы» в окне » 3D модель «. Слева от каждой булевой операции отображается пиктограмма, обозначающая тип операции ( Сложение, Вычитание, Пересечение). Особым образом булевы операции отображаются в дереве 3D модели. При раскрытии структуры Тела булева операция показывается в виде пиктограммы слева от второго операнда. На рисунке справа показана «Булева операция_2»: пересечение первого операнда «Вращение_1» со вторым операндом «Выталкивание_2».

При нажатии на пиктограмме слева от второго операнда в дереве модели вызывается контекстное меню для булевой операции. Также контекстное меню для булевой можно вызвать из контекстного меню для второго операнда в дереве модели.

Создание булевой операции в дереве 3D модели

В дереве 3D модели можно создать булеву операцию без явного вызова команды создания.

Используя метод Drag&Drop , можно выбрать одно тело в дереве 3D модели и удерживая левую кнопку мыши перетащить его на другое тело. В этом случае будет автоматически создана булева операция «Сложение». Если при этом удерживать нажатым будет создана булева операция » Вычитание «. Если вместо удерживать нажатым будет создана булева операция » Пересечение «. Перетаскиваемое тело будет вторым операндом, а тело, на которое перетаскивают – первым операндом.

Автоматическое создание булевых операций при создании других операций

При создании многих операций T-FLEX CAD возможно автоматическое создание булевой операции. Создаваемое тело при этом всегда является вторым операндом булевой операции. В качестве первого операнда выбирается любое из уже существующих тел 3D модели.

Для создания булевой операции необходимо:

1. Включить режим создания булевой операции с помощью опции автоменю:

Режим создания булевой операции: «Сложение»

Булева операция создаётся при нажатой пиктограмме.

2. Выбрать тип создаваемой операции с помощью опции автоменю, содержащей выпадающий список:

Источник