Вероятность битовой ошибки матлаб

[number,ratio] = biterr(x,y,k) также задает k, максимальное количество бит для каждого элемента в x и y. Если беззнаковое двоичное представление любого элемента в x или y более k цифры, ошибки функции.

Примеры

numerrs = biterr(x,y,[],'column-wise')

numerrs = biterr(x,y,[],'row-wise')

numerrs = biterr(x,y,[],'overall')

M = 64;                 % Modulation order
k = log2(M);            % Bits per symbol
EbNoVec = (5:15)';      % Eb/No values (dB)
numSymPerFrame = 100;   % Number of QAM symbols per frame

berEst = zeros(size(EbNoVec));

for n = 1:length(EbNoVec)
    % Convert Eb/No to SNR
    snrdB = EbNoVec(n) + 10*log10(k);
    % Reset the error and bit counters
    numErrs = 0;
    numBits = 0;
    
    while numErrs < 200 && numBits < 1e7
        % Generate binary data and convert to symbols
        dataIn = randi([0 1],numSymPerFrame,k);
        dataSym = bi2de(dataIn);
        
        % QAM modulate using 'Gray' symbol mapping
        txSig = qammod(dataSym,M);
        
        % Pass through AWGN channel
        rxSig = awgn(txSig,snrdB,'measured');
        
        % Demodulate the noisy signal
        rxSym = qamdemod(rxSig,M);
        % Convert received symbols to bits
        dataOut = de2bi(rxSym,k);
        
        % Calculate the number of bit errors
        nErrors = biterr(dataIn,dataOut);
        
        % Increment the error and bit counters
        numErrs = numErrs + nErrors;
        numBits = numBits + numSymPerFrame*k;
    end
    
    % Estimate the BER
    berEst(n) = numErrs/numBits;
end

berTheory = berawgn(EbNoVec,'qam',M);

semilogy(EbNoVec,berEst,'*')
hold on
semilogy(EbNoVec,berTheory)
grid
legend('Estimated BER','Theoretical BER')
xlabel('Eb/No (dB)')
ylabel('Bit Error Rate')

Входные параметры

Выходные аргументы

Алгоритмы

выполнения этих задач в середине интервала каждого двоичного разряда производится выборка, после чего полученная величина сравнивается с пороговым значением. Как можно видеть на том же рисунке, помехи и другие искажения могут приводить к ошибочным результатам.

То, насколько успешной будет интерпретация сигнала, поступившего в приемник, главным образом зависит от трёх факторов: отношения сигнал/шум, скорости передачи данных и ширины полосы. При фиксированных остальных параметрах справедливы следующие утверждения:

–увеличение скорости передачи данных приводит к увеличению скорости появления ошибочных битов, или, что тоже самое, к увеличению

частоты битовых ошибок (ВЕR – bit error rate);

–увеличение отношения сигнал/шум уменьшает скорость появления ошибочных битов;

–увеличение ширины полосы позволяет увеличить скорость передачи данных.

Существует еще один фактор, позволяющий увеличить производительность – выбор схемы линейного кодирования. Схема кодирования представляет собой простое отображение информационных битов в сигнальные посылки. При выборе конкретной схемы в первую очередь обращают внимание на следующие параметры и показатели [5, 11, 13].

Спектр сигнала. Некоторые особенности спектра сигнала имеют важное значение. Отсутствие высокочастотных компонентов означает, что для передачи требуется более узкая полоса. Кроме того, желательно также, чтобы отсутствовала постоянная составляющая. Если в сигнале она присутствует, то должно существовать прямое физическое соединение передающего и приемного устройства (если речь идет о проводных системах связи). Если же постоянная составляющая отсутствует, то можно использовать соединение по переменному току через трансформатор; это дает превосходную электрическую изоляцию и снижает интерференцию. И, наконец, уровни искажения сигнала и интерференции зависят от спектральных свойств передаваемого сигнала. На практике наибольшие искажения сигнал претерпевает на краях полосы пропускания. Следовательно, при хорошей структуре сигнала основная передаваемая мощность должна быть сосредоточена в середине полосы передачи. Тогда принимаемый сигнал будет менее искаженным. Этого можно добиться с помощью методов модуляции, позволяющих формировать спектр передаваемого сигнала.

11

Синхронизация. Приемник должен уметь определять начало и конец каждого двоичного разряда. Это совсем не легко. Один из довольно дорогостоящих подходов состоит в выделении специального канала для синхронизации приемника и передатчика. Альтернативный вариант – создание некоторого механизма синхронизации на базе переданного сигнала.

Интерференция сигналов и помехоустойчивость. Отдельные кодировки позволяют добиваться лучшей производительности при наличии помех, чем другие. Выражается это, как правило, через скорость появления ошибок.

Стоимость и сложность. Хотя цифровые логические схемы продолжают падать в цене, этот фактор игнорировать не стоит. В частности, чем выше скорость передачи сигналов, позволяющая получить определенную скорость передачи данных, тем выше цена.

1.2Методы цифровой полосовой модуляции

Полосовая модуляция [4] (аналоговая или цифровая) – это процесс преобразования информационного сигнала в синусоидальный сигнал; при цифровой модуляции синусоида на интервале Т называется цифровым символом. Синусоиды могут отличаться по амплитуде, частоте и фазе. Таким образом, полосовую модуляцию можно определить как процесс варьирования амплитуды, частоты или фазы (или их комбинаций) радиочастотной несущей согласно передаваемой информации. В общем виде несущая записывается следующим образом

Здесь А(t) – переменная во времени амплитуда, а θ(t) – переменный во времени угол.

Угол удобно записывать в виде

так что

где ω, – угловая частота несущей, φ(t) – ее фаза.

Частота может записываться как переменная f или как переменная ω. В первом случае частота измеряется в герцах (Гц), во втором – в радианах в секунду (рад/с). Эти параметры связаны следующим соотношением ω = 2πf.

12

Таблица 1.1 – Основные типы полосовой модуляции/демодуляции

Если для детектирования сигналов приемник использует информацию о фазе несущей, процесс называется когерентным детектированием (coherent detection); если подобная информация не используется, процесс именуется некогерентным детектированием (noncoherent detection). При идеальном когерентном детектировании приемник содержит прототипы каждого возможного сигнала. Эти сигналы-прототипы дублируют алфавит переданных сигналов по всем параметрам, даже по радиочастотной фазе. В этом случае говорят, что приемник автоматически подстраивается под фазу входного сигнала. В процессе демодуляции приемник перемножает и интегрирует входной сигнал с каждым прототипом (определяет корреляцию). В таблице 1.1 под общим заголовком когерентной модуляции/демодуляции перечислены: фазовая манипуляция, частотная манипуляция (frequency shift keying – FSK), амплитудная манипуляция (amplitude shift keying – ASK), модуляция без разрыва фазы (continuous phase modulation – CPM) и

смешанные комбинации этих модуляций. Некоторые специализированные форматы, такие как квадратурная фазовая манипуляция со сдвигом (offset quadrature PSK – OQPSK), манипуляция с минимальным сдвигом (minimum shift keying – MSK), принадлежащие к классу модуляций СРМ, и квадратурная амплитудная модуляция (quadrature amplitude modulation – QAM) в таблице не отображены.

Некогерентная демодуляция относится к системам, использующим демодуляторы, спроектированные для работы без знания абсолютной величины фазы входного сигнала; следовательно, определение фазы в этом случае не требуется. Таким образом, преимуществом некогерентных систем перед когерентными является простота, а недостатком – большая вероятность ошибки. В таблице 1.1 под заголовком некогерентной передачи сигналов перечислены модуляции, подобные используемым при когерентной передаче: DPSK, FSK, ASK, CPM и смешанные их комбинации. Подразумевается, что для некогерентного приема информация о фазе не используется; но, тем не менее, под заголовком «некогерентная передача» указана одна из форм фазовой манипуляции. Это вызвано тем, что одну из важных форм PSK можно отнести к некогерентной (или дифференциально

13

когерентной), поскольку она не требует согласования по фазе с принятой несущей. При использовании этой модуляции, называемой дифференциальной фазовой манипуляцией (differential PSK – DPSK), в процессе детектирования текущего символа в качестве опорной фазы применяется фаза предыдущего символа [2, 13].

1.3Оценка качества приема в цифровых системах связи

Любой, кто изучал аналоговую связь, знаком с критерием качества, именуемым отношением средней мощности сигнала к средней мощности шума (S/N или SNR). В цифровой связи для оценки качества чаще используется нормированная версия SNR – отношение Еb/N0. Еb – это энергия бита, и ее можно описать как мощность сигнала S, умноженную на время передачи бита Тb. N0 – это спектральная плотность мощности шума, и ее можно выразить как мощность шума N, деленную на ширину полосы W. Поскольку время передачи бита и скорость передачи битов Rb взаимно обратны, Тb можно заменить на 1/Rb.

Еще одним параметром, часто используемым в цифровой связи, является скорость передачи данных в битах в секунду. В целях упрощения выражений, встречающихся в данной работе, для представления скорости передачи битов вместо записи Rb используется знак R. С учетом сказанного перепишем, выражение (1.4) так, чтобы было явно видно, что отношение Еb/N0 представляет собой отношение S/N, нормированное на ширину полосы и скорость передачи битов.

Одной из важнейших метрик производительности в системах цифровой связи является график зависимости вероятности появления ошибочного бита Pb от Еb/N0. На рисунке 1.2 показан общий вид большинства подобных кривых. При Eb/N0 ≥ x0, Pb ≤ P0. Безразмерное отношение Eb/N0 – это стандартная качественная мера производительности систем цифровой связи.

14

Следовательно, необходимое отношение Eb/N0 можно рассматривать как метрику, позволяющую сравнивать производительность различных систем; чем меньше требуемое отношение Eb/N0, тем эффективнее процесс регистрации при данной вероятности ошибки.

Pb

для Eb/N0≥x0, PB≤P0

x0 Eb/N0

Рисунок 1.2 – Общий вид зависимости Pb ОТ Eb/N0

1.4Фазовая манипуляция PSK

Фазовая манипуляция (phase shift keying – PSK) была разработана в начале развития программы исследования дальнего космоса; сейчас схема PSK широко используется в коммерческих и военных системах связи. Сигнал в модуляции PSK имеет следующий вид.

где: Е – энергия символа;

Т – время передачи символа, 0 ≤ t ≤ Т; ω0 – угловая частота;

φi(t) – фазовый член, который может принимать М дискретных значений, обычно определяемых следующим образом

Типичный вид сигнала в модуляции BPSK (binary PSK – BPSK) приведен на рисунке 1.3, где явно видны характерные резкие изменения фазы при переходе между символами; если модулирующий поток данных состоит

15

из чередующихся нулей и единиц, то такие изменения будут происходить при каждом переходе. Работа схемы модуляции заключается в смещении фазы модулируемого сигнала si(t) на одно из двух значений, нуль или π

(180°).

Рисунок 1.3 – Типичный вид сигнала BPSK

Модулированный сигнал можно представить как вектор на графике в полярной системе координат, где длина вектора соответствует амплитуде сигнала, а его ориентация в общем М-арном случае – фазе сигнала относительно других М-1 сигналов набора. При модуляции BPSK векторное представление дает два противофазных (180º) вектора. Наборы сигналов, которые могут быть представлены подобными противофазными векторами,

называется антиподными [3].

1.5Вероятность ошибки при когерентном обнаружении сигнала

BPSK

Двоичное детектирование

Допустим, что передаваемый сигнал искажается только вследствие воздействия шума (additive white Gaussian noice – AWGN). Принятый сигнал в этом случае описывается как сумма переданного сигнала si(t) и случайного шумового процесса n(t):

16

Корреляционный приемник при двоичном детектировании также можно изобразить как два согласованных фильтра или интегратора произведений, один из которых согласовывается с s1(t), а второй – с s2(t) (рисунок 1.4, б). На этапе принятия решения теперь может использоваться правило, приведенное в формуле (1.11), или же из выхода одного коррелятора можно вычесть выход другого и на этапе принятия решения использовать разность

как показано на рис. 1.4 б.

Здесь z(T), называемое тестовой статистикой, подается в схему принятия решения, как и в случае только одного коррелятора. В отсутствие шума на выходе мы получаем z(T) = ai(Т), где аi(Т) – сигнальный компонент. Входной шум п(Т) и выходной шум n0(Т) при этом являются случайными гауссовыми процессами. Таким образом, можно записать выражение сигнала на выходе коррелятора в момент взятия выборки t = Т

где n0(Т) – компонент шума, это гауссова случайная переменная с

нулевым средним;

z(T) – это гауссова случайная переменная со средним а1 или а2, в зависимости от того, была передана двоичная единица или двоичный нуль.

Порог двоичного решения

Критерий минимума ошибки для равновероятных двоичных сигналов, искаженных гауссовым шумом, можно сформулировать следующим образом:

здесь a1 — сигнальный компонент z(Т) при передаче s1(t), а а2 — сигнальный компонент z(T) при передаче s2(t).

Порог γ0, равный (а1+ а2)/2, — это оптимальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения при равновероятных сигналах и симметричных функциях правдоподобия. Правило принятия решения, приведенное в формуле (1.14), указывает, что гипотеза H1 (решение, что переданный сигнал – это s1(t)) выбирается при z(T) > γ0, а гипотеза Н2 (решение, что переданный сигнал – это s2(t)) – при z(Т) < γ0. Если z(T) = γ, решение может быть любым. При равновероятных антиподных

18

сигналах с равными энергиями, где s1(t) = -s2(t) и a1 = — a2, оптимальное правило принятия решения принимает следующий вид

что можно сформулировать следующим образом

выбрать сигнал s1(t), если z1(T) > z2(T) выбрать сигнал s2(t) в противном случае

Вероятность битовой ошибки

Вероятность принятия детектором неверного решения называется

вероятностью символьной ошибки, РS. Несмотря на то, что решения принимаются на символьном уровне, производительность системы часто удобнее задавать через вероятность битовой ошибки Рв.

Формула (1.16) описывает вероятность битовой ошибки PB для детектора, работающего по принципу минимальной вероятности ошибки

Здесь 0 – среднеквадратическое отклонение шума вне коррелятора.

Функция Q(x), называемая гауссовым интегралом ошибок, определяется следующим образом

Для передачи антиподных сигналов с равными энергиями, таких как сигналы в формате BPSK, на выход приемника поступают следующие компоненты: а1 = Eb , при переданном сигнале s1(t), и а2 =– Eb , при

переданном сигнале s2(t), где Eb — энергия сигнала, приходящаяся на

двоичный символ. Для процесса AWGN дисперсию шума σ02 вне коррелятора можно заменить на N0/2, так что формулу (1.16) можно переписать следующим образом

19

1.6Дифференциальная фазовая манипуляция DPSK

Альтернативной формой двухуровневой PSK является дифференциальная PSK (differential phase-shift keying – DPSK), пример которой приведен на рисунке 1.5. В данной системе двоичный ноль представляется сигнальным пакетом, фаза которого совпадает с фазой предыдущего посланного пакета, а двоичная единица представляется сигнальным пакетом с фазой, противоположной фазе предыдущего пакета. Такая схема называется дифференциальной, поскольку сдвиг фаз выполняется относительно предыдущего переданного бита, а не относительно какого-то эталонного сигнала.

2

1.5

1

0.54

3

2

1

Рисунок 1.5 – Пример модуляции BDPSK

Само название – дифференциальная фазовая манипуляция – требует некоторого пояснения, поскольку со словом «дифференциальный» связано два различных аспекта процесса модуляции/демодуляции: процедура

20