Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок

Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

. (2.14)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (), сезонной () и случайной () компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

. (2.15)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (), сезонной () и случайной () компонент.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2) Расчет значений сезонной компоненты .

3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных () в аддитивной или () в мультипликативной модели.

4) Аналитическое выравнивание уровней () или () и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

5) Расчет полученных по модели значений () или ().

6) Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Методику построения аддитивной модели рассмотрим в данном разделе методического пособия.

Пример. Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме правонарушений на таможне за четыре года, представленным в табл. 2.1.

Как видно из табл. 2.1, данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т. к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 2.2).

Таблица 2.1

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 2.2). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 2.2).

Таблица 2.2

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 2.2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты (табл. 2.3). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 2.3

Для данной модели имеем:

.

Корректирующий коэффициент: .

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим полученные данные в таблицу 6.6.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 2.4). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

.

Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл. 2.4).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 2.4).

Таблица 2.4

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.

Рис. 28. График фактических уровней временного ряда

И теоретических, полученных по аддитивной модели.

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

.

Получим

;

.

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом,

;

.

Т. е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно. Построение мультипликативной модели проводится по той же схеме, что и построение аддитивной модели.

Вопросы для самопроверки

1. В каких случаях для прогнозирования применяют методы прямой экстраполяции?

2. Когда для прогнозирования можно использовать модель тренда?

3. Какие модели трендов обычно используются при прогнозировании в экономике?

4. Перечислите этапы прогнозирования экономических показателей с применением моделей тренда.

5. Что понимают под адекватностью и точностью модели прогнозировании? Как можно проверить адекватность и точность модели прогнозирования?

6. Поясните, почему при прогнозировании наряду с точечным прогнозом рассчитывают и интервальный прогноз?

7. Что такое коэффициент автокорреляции? Как он рассчитывается и что он показывает?

8. Для чего используется критерий Дарбина-Уотсона в моделях временных рядов?

9. Что такое коррелограмма?

10. Поясните технологию расчета точечного интервального прогнозов при использовании моделей тренда.

При
наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого
последующего уровня ряда зависят от предыдущих.
Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда
называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с
помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда
и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Число
периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом.
С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент
автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для
обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции
использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше

.

Отметим
два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии
с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту
только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по
коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к
линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную
тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент
автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых,
по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или
убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических
данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут
иметь убывающую тенденцию.

Последовательность
коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют
автокорреляционной функцией временного рада. График зависимости ее значений от
величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ
автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет
определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а
следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями
ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если
наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка,
исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался
коэффициент автокорреляции порядка

, ряд содержит
циклические колебания с периодичностью в

 моментов времени.
Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно
сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд
не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную
нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный
анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию
целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или
отсутствия трендовой компоненты (

)
и
циклической (сезонной) компоненты (

).

Существует несколько подходов к
анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические
колебания. Простейший подход — расчет значений сезонной компоненты методом
скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели
временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

Эта модель
предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как
сумма трендовой

,
сезонной

 и случайной

 компонент. Общий вид
мультипликативный модели выглядит так:

Эта модель
предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как
произведение трендовой

,
сезонной

 и случайной

 компонент. Выбор одной из двух моделей
осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда
колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в
которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных
циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят
мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в
зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и
мультипликативной моделей сводится к расчету значений

 и

 для каждого уровня ряда.

Процесс построения
модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание
исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений
сезонной компоненты

.

3. Устранение сезонной
компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных

 в аддитивной или

 в мультипликативной модели.

4. Аналитическое
выравнивание уровней

 или

 и расчет значений

 с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по
модели значений

 или

.

6. Расчет абсолютных
и/или относительных ошибок.

Если полученные
значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни
ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок

 для анализа взаимосвязи исходного ряда и
других временных рядов.

Задача

Имеются
условные данные об объемах потребления электроэнергии

 жителями региона за 16 кварталов.

Требуется:

1.
Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных
колебаний.

2.
Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или
мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).

3.
Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Решение

1) Построим поле корреляции:

Поле корреляции

Уже
исходя из графика видно, что значения

 образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько
последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую
вспомогательную таблицу:

Следует
заметить. что среднее
значение получается путем деления не на 16, а на 15, так как у нас теперь на
одно наблюдение меньше.

Коэффициент
автокорреляции первого порядка:

Составляем
вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго
порядка:

Следовательно:

Аналогично
находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные
значения заносим в сводную таблицу:

Коррелограмма

Анализ
коррелограммы и графика исходных уровней временного
ряда позволяет сделать выводы о наличии в изучаемом временном ряде сезонных
колебаний периодичностью в четыре квартала.

2)  Проведем выравнивание исходных уровней ряда
методом скользящей средней. Для этого:

Просуммируем
уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент
времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии.

Разделив
полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом
выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

Приведем
эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем
средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные
скользящие средние.

Найдем
оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и
центрированными скользящими среднеми. Используем эти оценки для расчета
значений сезонной компоненты

. Для этого найдем средние
за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты

:

В моделях
с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за
период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма
значений сезонной компоненты по всем кварталам должны быть равна нулю.

Для данной
модели имеем:

Корректирующий
коэффициент:

Рассчитываем
скорректированные значения сезонной компоненты

 и заносим полученные данные в таблицу.

Проверим
равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

Исключим  влияние сезонной компоненты, вычитая ее
значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины

. Эти значения
рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную
компоненту.

Определим
компоненту

 данной модели. Для этого проведем
аналитическое выравнивание ряда

 с помощью линейного тренда. Результаты
аналитического выравнивания следующие:

Подставляя
в это уравнение значения

, найдем уровни

 для каждого момента времени

Найлем
значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к
уровням

 значения сезонной компоненты для
соответствующих кварталов.

На одном
графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические,
полученные по аддитивной модели.

Фактические и теоретические уровни

Для оценки
качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных
ошибок:

Следовательно,
можно сказать, что аддитивная модель объясняет 99.3% общей вариации уровней
временного ряда.

3)
Прогнозное значение

 уровня временного ряда в аддитивной модели
есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты
воспользуемся уравнением тренда:

Получим:

Значения
сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:

Таким
образом: