Для каждой исходной последовательности классического кода хэмминга 15 11 проверить имеются ли ошибки

I have a sequence of bits
$$
111011011110
$$
and need to detect two errors(without correction) using Hamming codes. Hamming codes contain a control bit in each $2^n$ position. Hence I should put this control bits in their positions.

$$
0010110011011110
$$

I’ve found a simple explanation of how to count the code for a sequence of bits. It says that each control bit responds for the following bits using these rules: First control bit responds for $2^n$ position and each following bit through $2^n$ . So the first bit responds for the first, third, fifth and etc. bits. The second control bit responds for 2nd, 3rd, 6th, 7th, 10th, 11th and etc. bits. Third control bit(which is on the 4th position) responds for 4th, 5th, 6th, 7th, 12th, 13th etc. bits. And so on. The value of each of the controls bits is counted as a modulo sum of the bits, which this control bit responds for.

Here is an illustration of what I mean:

Assuming this rule is right, the last 16th bit(after control bits addition) is not under the responsibility of any of the control bits.

So the question is: How can I detect double error(only detect, not correct) for the given sequence of bits using the Hamming code?

I have a sequence of bits
$$
111011011110
$$
and need to detect two errors(without correction) using Hamming codes. Hamming codes contain a control bit in each $2^n$ position. Hence I should put this control bits in their positions.

$$
0010110011011110
$$

I’ve found a simple explanation of how to count the code for a sequence of bits. It says that each control bit responds for the following bits using these rules: First control bit responds for $2^n$ position and each following bit through $2^n$ . So the first bit responds for the first, third, fifth and etc. bits. The second control bit responds for 2nd, 3rd, 6th, 7th, 10th, 11th and etc. bits. Third control bit(which is on the 4th position) responds for 4th, 5th, 6th, 7th, 12th, 13th etc. bits. And so on. The value of each of the controls bits is counted as a modulo sum of the bits, which this control bit responds for.

Here is an illustration of what I mean:

Assuming this rule is right, the last 16th bit(after control bits addition) is not under the responsibility of any of the control bits.

So the question is: How can I detect double error(only detect, not correct) for the given sequence of bits using the Hamming code?

Коды Хемминга позволяют закодировать исходное сообщение таким образом, чтобы после передачи его по зашумлённым каналам связи (например, по радиоканалу) и искажениям в принятой информации, можно было восстановить исходное сообщение.

''' <summary>
''' Кодирует 11 бит информации кодом Хэмминга (15, 11). 
''' Входные данные – 11 бит, выходные – 16 бит.
''' </summary>
''' <param name="dataIn">Входные данные, не более 11-ти бит.</param>
''' <remarks>
''' Размещение проверочных и информационных бит в кодовом слове:
''' 
'''          |15|14|13|12|11|10|09|08|07|06|05|04|03|02|01|00|
''' in_data  |  |  |  |  |  | L| K| I| H| G| F| E| D| C| B| A|
''' code_word| L| K| I| H| G| F| E| P| D| C| B| P| A| P| P| X|
''' 
''' A,B,C,D,E,F,G,H,I,K,L – биты данных информационного слова;
'''                     P – проверочный бит;
'''                     X – бит, равный 0 (не используется).
''' Кодовое слово дополняется одним битом, чтобы длина была равна степени двойки. Сейчас этот бит никак не используется.
''' Можно его использовать как бит чётности и получить так называемый дополненный код Хэмминга. Здесь этого не сделано.
''' </remarks>
Public Shared Function Encode_15_11(ByVal b As BitArray) As BitArray
 
            'Можно также добавить проверку на длину передаваемой битовой последовательности:
            'If (b.Count > 11) Then
            '    Throw New ArgumentException("Входная последовательность длиннее 11-ти битов.")
            'End If

            Dim preDataIn As New BitArray(11)
            For i As Integer = 0 To 10
                If (b.Count > i) Then
                    preDataIn(i) = b(i)
                Else
                    Exit For
                End If
            Next

            Dim dataIn As New BitArray(preDataIn)

            'Весь процесс кодирования – это сложение по модулю два бит информационного слова.
            Dim codeWord As New BitArray(16)

            'Младший разряд не используется. Можно добавить в него проверку на чётность.
            codeWord(0) = False

            'Вычисление первого проверочного символа:
            codeWord(1) = dataIn(0) Xor dataIn(1) Xor dataIn(3) Xor dataIn(4) Xor dataIn(6) Xor dataIn(8) Xor dataIn(10)

            'Вычисление второго проверочного символа:
            codeWord(2) = dataIn(0) Xor dataIn(2) Xor dataIn(3) Xor dataIn(5) Xor dataIn(6) Xor dataIn(9) Xor dataIn(10)

            'Вычисление третьего проверочного символа:
            codeWord(4) = dataIn(1) Xor dataIn(2) Xor dataIn(3) Xor dataIn(7) Xor dataIn(8) Xor dataIn(9) Xor dataIn(10)

            'Вычисление четвертого проверочного символа:
            codeWord(8) = dataIn(4) Xor dataIn(5) Xor dataIn(6) Xor dataIn(7) Xor dataIn(8) Xor dataIn(9) Xor dataIn(10)

            'Информационные символы:
            codeWord(3) = dataIn(0)
            codeWord(5) = dataIn(1)
            codeWord(6) = dataIn(2)
            codeWord(7) = dataIn(3)
            codeWord(9) = dataIn(4)
            codeWord(10) = dataIn(5)
            codeWord(11) = dataIn(6)
            codeWord(12) = dataIn(7)
            codeWord(13) = dataIn(8)
            codeWord(14) = dataIn(9)
            codeWord(15) = dataIn(10)

            Return codeWord

        End Function

Public Shared Function Encode_15_11(ByVal numberToEncode As Integer) As Byte()
    Dim enc As BitArray = Hamming.Encode_15_11(New BitArray({numberToEncode}))
    Dim encBytes(1) As Byte
    enc.CopyTo(encBytes, 0)
    Return encBytes
End Function

''' <summary>
''' Декодер кода (15, 11). 
''' </summary>
''' <param name="b">Входные данные, 16 бит (2 байта).</param>
''' <returns>Выходные данные – 10 бит.</returns>
''' <remarks>
''' Размещение проверочных и информационных бит в кодовом слове:
''' 
'''          |15|14|13|12|11|10|09|08|07|06|05|04|03|02|01|00|
''' code_word| L| K| I| H| G| F| E| P| D| C| B| P| A| P| P| X|
''' out_data |  |  |  |  |  | L| K| I| H| G| F| E| D| C| B| A|
''' 
''' A,B,C,D,E,F,G,H,I,K,L – биты данных информационного слова;
'''                     P – проверочный бит;
'''                     X – бит, равный 0 (не используется).
''' 
''' Кодовое слово дополняется одним битом, чтобы длина была равна степени двойки. Сейчас этот бит никак не используется.
''' Можно его использовать как бит четности и получить так называемый дополненный код Хэмминга. Здесь этого не сделано.
''' </remarks>
Public Shared Function Decode_15_11(ByVal b As Byte()) As Integer

    Dim codeWord As New BitArray(b) '16 бит входных данных

    'Весь процесс декодирования – это сложение по модулю два бит информационного слова, по весу полученных единиц в результате – получение позиции ошибки.
    Dim syndrome As New BitArray(4) 

    'Вычисление первого проверочного символа из полученного кодового слова и далее сравнение его с полученным.
    syndrome(0) = codeWord(3) Xor codeWord(5) Xor codeWord(7) Xor codeWord(9) Xor codeWord(11) Xor codeWord(13) Xor codeWord(15) Xor codeWord(1)

    'Вычисление второго проверочного символа из полученного кодового слова и далее сравнение его с полученным.
    syndrome(1) = codeWord(3) Xor codeWord(6) Xor codeWord(7) Xor codeWord(10) Xor codeWord(11) Xor codeWord(14) Xor codeWord(15) Xor codeWord(2)

    'Вычисление третьего проверочного символа из полученного кодового слова и далее сравнение его с полученным.
    syndrome(2) = codeWord(5) Xor codeWord(6) Xor codeWord(7) Xor codeWord(12) Xor codeWord(13) Xor codeWord(14) Xor codeWord(15) Xor codeWord(4)

    'Вычисление четвёртого проверочного символа из полученного кодового слова и далее сравнение его с полученным.
    syndrome(3) = codeWord(9) Xor codeWord(10) Xor codeWord(11) Xor codeWord(12) Xor codeWord(13) Xor codeWord(14) Xor codeWord(15) Xor codeWord(8)

    'Вычисление по синдрому позиции ошибки. Это просто ПЗУ или дешифратор.
    'Если смотреть на синдром как на число - то это и есть номер позиции ошибки.
    'Синдром равен 0 - ошибки нет.
    'Поскольку на выход модуля передаются только биты данных - не все варианты перечислены, нет смысла исправлять проверочные биты.
    Dim syn As Integer = (Convert.ToInt32(syndrome(3)) << 3) Or (Convert.ToInt32(syndrome(2)) << 2) Or (Convert.ToInt32(syndrome(1)) << 1) Or Convert.ToInt32(syndrome(0))

    '         |15|14|13|12|11|10|09|08|07|06|05|04|03|02|01|00|
    'code_word| L| K| I| H| G| F| E| P| D| C| B| P| A| P| P| X|
    'Синдромы ошибок в информационных битах, позиции в кодовом слове 3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15:
    Dim correction As New BitArray(11) 
    Select Case syn
        Case 3 'позиция 3
            correction = New BitArray({True, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False}) 
        Case 5 'позиция 5
            correction = New BitArray({False, True, False, False, False, False, False, False, False, False, False}) 
        Case 6 'позиция 6
            correction = New BitArray({False, False, True, False, False, False, False, False, False, False, False}) 
        Case 7 'позиция 7
            correction = New BitArray({False, False, False, True, False, False, False, False, False, False, False}) 
        Case 9 'позиция 9
            correction = New BitArray({False, False, False, False, True, False, False, False, False, False, False}) 
        Case 10 'позиция 10
            correction = New BitArray({False, False, False, False, False, True, False, False, False, False, False})  
        Case 11 'позиция 11
            correction = New BitArray({False, False, False, False, False, False, True, False, False, False, False})  
        Case 12 'позиция 12
            correction = New BitArray({False, False, False, False, False, False, False, True, False, False, False})  
        Case 13 'позиция 13
            correction = New BitArray({False, False, False, False, False, False, False, False, True, False, False})  
        Case 14 'позиция 14
            correction = New BitArray({False, False, False, False, False, False, False, False, False, True, False})  
        Case 15 'позиция 15
            correction = New BitArray({False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, True})  
        Case Else
            'Если синдром равен 0 или указывает на ошибку в проверочном символе "P" - коррекция информационных символов не требуется.
            'Мы инициализировали correction() нулями (correction = New BitArray(11)), поэтому ничего делать не нужно.
        End Select

        'Результат декодирования с учетом коррекции (11 бит выходных данных):
        Dim outData As New BitArray(11)
        outData(0) = codeWord(3) Xor correction(0)    
        outData(1) = codeWord(5) Xor correction(1)     
        outData(2) = codeWord(6) Xor correction(2)     
        outData(3) = codeWord(7) Xor correction(3)     
        outData(4) = codeWord(9) Xor correction(4)     
        outData(5) = codeWord(10) Xor correction(5)   
        outData(6) = codeWord(11) Xor correction(6)  
        outData(7) = codeWord(12) Xor correction(7) 
        outData(8) = codeWord(13) Xor correction(8) 
        outData(9) = codeWord(14) Xor correction(9) 
        outData(10) = codeWord(15) Xor correction(10) 

        Dim masks(31) As Integer
        masks(0) = BitVector32.CreateMask()
        For i As Integer = 1 To 31
            masks(i) = BitVector32.CreateMask(masks(i - 1))
        Next

        Dim v As New BitVector32
        For i As Integer = 0 To 10
            v(masks(i)) = outData(i)
        Next
        Dim decoded As Integer = v.Data

        Return decoded

End Function

Назначение помехоустойчивого кодирования – защита информации от помех и ошибок при передаче и хранении информации. Помехоустойчивое кодирование необходимо для устранения ошибок, которые возникают в процессе передачи, хранения информации. При передачи информации по каналу связи возникают помехи, ошибки и небольшая часть информации теряется. 

Без использования помехоустойчивого кодирования было бы невозможно передавать большие объемы информации (файлы), т.к. в любой системе передачи и хранении информации неизбежно возникают ошибки.

Рассмотрим пример CD диска. Там информация хранится прямо на поверхности диска, в углублениях, из-за того, что все дорожки на поверхности, часто диск хватаем пальцами, елозим по столу и из-за этого без помехоустойчивого кодирования, информацию извлечь не получится.

Использование кодирования позволяет извлекать информацию без потерь даже с поврежденного CD/DVD диска, когда какая либо область становится недоступной для считывания.

В зависимости от того, используется в системе обнаружение или исправление ошибок с помощью помехоустойчивого кода, различают следующие варианты:

• запрос повторной передачи (Automatic Repeat reQuest, ARQ): с помощью помехоустойчивого кода выполняется только обнаружение ошибок, при их наличии производится запрос на повторную передачу пакета данных;
• прямое исправление ошибок (Forward Error Correction, FEC): производится декодирование помехоустойчивого кода, т. е. исправление ошибок с его помощью.

Возможен также гибридный вариант, чтобы лишний раз не гонять информацию по каналу связи, например получили пакет информации, попробовали его исправить, и если не смогли исправить, тогда отправляется запрос на повторную передачу. 

Исправление ошибок в помехоустойчивом кодировании

Любое помехоустойчивое кодирование добавляет избыточность, за счет чего и появляется возможность восстановить информацию при частичной потере данных в канале связи (носителе информации при хранении). В случае эффективного кодирования убирали избыточность, а в помехоустойчивом кодировании добавляется контролируемая избыточность. 

Простейший пример – мажоритарный метод, он же многократная передача, в котором один символ передается многократно, а на приемной стороне принимается решение о том символе, количество которых больше.

Допустим есть 4 символа информации, А, B, С,D, и эту информацию повторяем несколько раз. В процессе передачи информации по каналу связи, где-то возникла ошибка. Есть три пакета (A1B1C1D1|A2B2C2D2|A3B3C3D3), которые должны нести одну и ту же информацию. 

Но из картинки справа, видно, что второй символ (B1 и C1) они отличаются друг от друга, хотя должны были быть одинаковыми. То что они отличаются, говорит о том, что есть ошибка. 

Необходимо найти ошибку с помощью голосования, каких символов больше, символов В или символов С? Явно символов В больше, чем символов С, соответственно принимаем решение, что передавался символ В, а символ С ошибочный. 

Для исправления ошибок нужно, как минимум 3 пакета информации, для обнаружения, как минимум 2 пакета информации.

Параметры помехоустойчивого кодирования

Первый параметр, скорость кода R характеризует долю информационных («полезных») данных в сообщении и определяется выражением: R=k/n=k/m+k

• где n – количество символов закодированного сообщения (результата кодирования);
•   m – количество проверочных символов, добавляемых при кодировании;
•   k – количество информационных символов.

Параметры n и k часто приводят вместе с наименованием кода для его однозначной идентификации. Например, код Хэмминга (7,4) значит, что на вход кодера приходит 4 символа, на выходе 7 символов,  Рида-Соломона (15, 11) и т.д. 

Второй параметр, кратность обнаруживаемых ошибок – количество ошибочных символов, которые код может обнаружить.

Третий параметр, кратность исправляемых ошибок – количество ошибочных символов, которые код может исправить (обозначается буквой t).

Контроль чётности

Самый простой метод помехоустойчивого кодирования это добавление одного бита четности. Есть некое информационное сообщение, состоящее из 8 бит, добавим девятый бит. 

Если нечетное количество единиц, добавляем 0.

1 0 1 0 0 1 0 0 | 0

Если четное количество единиц, добавляем 1.

1 1 0 1 0 1 0 0 | 1

Если принятый бит чётности не совпадает с рассчитанным битом чётности, то считается, что произошла ошибка.

1 1 0 0 0 1 0 0 | 1 

Под кратностью понимается, всевозможные ошибки, которые можно обнаружить. В этом случае, кратность исправляемых ошибок 0, так как мы не можем исправить ошибки, а кратность обнаруживаемых 1. 

Есть последовательность 0 и 1, и из этой последовательности составим прямоугольную матрицу размера 4 на 4. Затем для каждой строки и столбца посчитаем бит четности. 

Прямоугольный код – код с контролем четности, позволяющий исправить одну ошибку:

И если в процессе передачи информации допустим ошибку (ошибка нолик вместо единицы, желтым цветом), начинаем делать проверку. Нашли ошибку во втором столбце, третьей строке по координатам. Чтобы исправить ошибку, просто инвертируем 1 в 0, тем самым ошибка исправляется. 

Этот прямоугольный код исправляет все одно-битные ошибки, но не все двух-битные и трех-битные. 

Рассчитаем скорость кода для: 

• 1 1 0 0 0 1 0 0 | 1 

Здесь R=8/9=0,88

• И для прямоугольного кода:

Здесь R=16/24=0,66 (картинка выше, двадцать пятую единичку (бит четности) не учитываем)

Более эффективный с точки зрения скорости является первый вариант, но зато мы не можем с помощью него исправлять ошибки, а с помощью прямоугольного кода можно. Сейчас на практике прямоугольный код не используется, но логика работы многих помехоустойчивых кодов основана именно на прямоугольном коде. 

Классификация помехоустойчивых кодов

• Непрерывные — процесс кодирования и декодирования носит непрерывный характер. Сверточный код является частным случаем непрерывного кода. На вход кодера поступил один символ, соответственно, появилось несколько на выходе, т.е. на каждый входной символ формируется несколько выходных, так как добавляется избыточность.
• Блочные (Блоковые) — процесс кодирования и декодирования осуществляется по блокам. С точки зрения понимания работы, блочный код проще, разбиваем код на блоки и каждый блок кодируется в отдельности. 

По используемому алфавиту:

• Двоичные. Оперируют битами.
• Не двоичные (код Рида-Соломона). Оперируют более размерными символами. Если изначально информация двоичная, нужно эти биты превратить в символы. Например, есть последовательность 110 110 010 100 и нужно их преобразовать из двоичных символов в не двоичные, берем группы по 3 бита — это будет один символ, 6, 6, 2, 4 — с этими не двоичными символами работают не двоичные помехоустойчивые коды. 

Блочные коды делятся на

• Систематические  — отдельно не измененные информационные символы, отдельно проверочные символы. Если на входе кодера присутствует блок из k символов, и в процессе кодирования сформировали еще какое-то количество проверочных символов и проверочные символы ставим рядом к информационным в конец или в начало. Выходной блок на выходе кодера будет состоять из информационных символов и проверочных. 
• Несистематические — символы исходного сообщения в явном виде не присутствуют. На вход пришел блок k, на выходе получили блок размером n, блок на выходе кодера не будет содержать в себе исходных данных. 

В случае систематических кодов, выходной блок в явном виде содержит в себе, то что пришло на вход, а в случае несистематического кода, глядя на выходной блок нельзя понять что было на входе. 

Смотря на картинку выше, код 1 1 0 0 0 1 0 0 | 1 является систематическим, на вход поступило 8 бит, а на выходе кодера 9 бит, которые в явном виде содержат в себе 8 бит информационных и один проверочный.  

Код Хэмминга

Код Хэмминга — наиболее известный из первых самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов. Позволяет устранить одну ошибку и находить двойную. 

Код Хэмминга (7,4) — 4 бита на входе кодера и 7 на выходе, следовательно 3 проверочных бита. С 1 по 4 информационные биты, с 6 по 7 проверочные (см. табл. выше). Пятый проверочный бит y5, это сумма по модулю два 1-3 информационных бит. Сумма по модулю 2 это вычисление бита чётности. 

Декодирование кода Хэмминга

Декодирование происходит через вычисление синдрома по выражениям:

Синдром это сложение бит по модулю два. Если синдром не нулевой, то исправление ошибки происходит по таблице декодирования:

Расстояние Хэмминга

Расстояние Хэмминга — число позиций, в которых соответствующие символы двух кодовых слов одинаковой длины различны. Если рассматривать два кодовых слова, (пример на картинке ниже, 1 0 1 1 0 0 1 и 1 0 0 1 1 0 1) видно что они отличаются друг от друга на два символа, соответственно расстояние Хэмминга равно 2.

Кратность исправляемых ошибок и обнаруживаемых, связано минимальным расстоянием Хэмминга. Любой помехоустойчивый код добавляет избыточность с целью увеличить минимальное расстояние Хэмминга. Именно минимальное расстояние Хэмминга определяет помехоустойчивость. 

Помехоустойчивые коды

Современные коды более эффективны по сравнению с рассматриваемыми примерами. В таблице ниже приведены Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ)

Из таблицы видим, что там один класс кода БЧХ, но разные параметры n и k. 

• n — количество символов на входе. 
• k — количество символов на выходе. 
• t — кратность исправляемых ошибок. 
• Отношение k/n — скорость кода. 
• G (энергетический выигрыш) — величина, показывающая на сколько можно уменьшить отношение сигнал/шум (Eb/No) для обеспечения заданной вероятности ошибки.

Несмотря на то, что скорость кода близка, количество исправляемых ошибок может быть разное. Количество исправляемых ошибок зависит от той избыточности, которую добавим и от размера блока. Чем больше блок, тем больше ошибок он исправляет, даже при той же самой избыточности. 

Пример: помехоустойчивые коды и двоичная фазовая манипуляция (2-ФМн). На графике зависимость отношения сигнал шум (Eb/No) от вероятности ошибки. За счет применения помехоустойчивых кодов улучшается помехоустойчивость. 

Из графика видим, код Хэмминга (7,4) на сколько увеличилась помехоустойчивость? Всего на пол Дб это мало, если применить код БЧХ (127, 64) выиграем порядка 4 дБ, это хороший показатель. 

Компромиссы при использовании помехоустойчивых кодов

Чем расплачиваемся за помехоустойчивые коды? Добавили избыточность, соответственно эту избыточность тоже нужно передавать. Нужно: увеличивать пропускную способность канала связи, либо увеличивать длительность передачи. 

Компромисс:

1. Достоверность vs полоса пропускания.
2. Мощность vs полоса пропускания.
3. Скорость передачи данных vs полоса пропускания

Необходимость чередования (перемежения)

Все помехоустойчивые коды могут исправлять только ограниченное количество ошибок t. Однако в реальных системах связи часто возникают ситуации сгруппированных ошибок, когда в течение непродолжительного времени количество ошибок превышает t.

Например, в канале связи шумов мало, все передается хорошо, ошибки возникают редко, но вдруг возникла импульсная помеха или замирания, которые повредили на некоторое время процесс передачи, и потерялся большой кусок информации. В среднем на блок приходится одна, две ошибки, а в нашем примере потерялся целый блок, включая информационные и проверочные биты. Сможет ли помехоустойчивый код исправить такую ошибку? Эта проблема решаема за счет перемежения. 

Пример блочного перемежения:

На картинке, всего 5 блоков (с 1 по 25). Код работает исправляя ошибки в рамках одного блока (если в одном блоке 1 ошибка, код его исправит, а если две то нет). В канал связи отдается информация не последовательно, а в перемешку. На выходе кодера сформировались 5 блоков и эти 5 блоков будем отдавать не по очереди а в перемешку. Записали всё по строкам, но считывать будем, чтобы отправлять в канал связи, по столбцам. Информация в блоках перемешалась. В канале связи возникла ошибка и мы потеряли большой кусок. В процессе приема, мы опять составляем таблицу, записываем по столбцам, но считываем по строкам. За счет того, что мы перемешали большое количество блоков между собой, групповая ошибка равномерно распределится по блокам. 

My preferred approach is algebraic. Note that I prefer to construct the parity check matrix first, and then deduce a matrix for the code, using exactly the same trick as rschwieb. (My parity check matrix is the transpose of his.) Constructing the parity check matrix first has some advantages IMHO, such as yielding directly immediately that the code is cyclic.

Construct the field with 16 elements as $mathbf{F}_{2}[alpha]$, with $alpha$ a primitive element, so that the powers $1, alpha, dots, alpha^{14}$ are distinct.

Now write the element $1, alpha, dots, alpha^{14}$ as column vectors with respect to the basis $1, alpha, alpha^2, alpha^3$ of $mathbf{F}_{2}[alpha]$ as a vector space over $mathbf{F}_{2}$. So
$$
1 mapsto begin{bmatrix}0\0\0\1end{bmatrix},quad
alpha mapsto begin{bmatrix}0\0\1\0end{bmatrix},quad
alpha^2 mapsto begin{bmatrix}0\1\0\0end{bmatrix},quad
alpha^3 mapsto begin{bmatrix}1\0\0\0end{bmatrix},quad
alpha^4 mapsto begin{bmatrix}a_3\a_2\a_1\a_0end{bmatrix},quad
text{etc,}
$$
where $x^4+a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ is the minimal polynomial of $alpha$ over $mathbf{F}_{2}$.

Then these column vectors are the columns, written right-to-left, of the parity check matrix.

Erno Lancaster edited this adding

This uses the fact that the Hamming code is the set of all polynomials of degree $< 15$ with $alpha$ as a root. In other words, a Hamming code is also a $t = 1$ BCH code.